博弈論常用SG函式

一個局面的 SG 為 mex(後繼局面的 SG)，mex 運算為集合中沒出現的最小的自然數。幾個 局面的和的 SG 為單個的 SG 異或，SG 不為 0 時先手必勝，SG 為 0 時後手必勝。

Nim Game

n 堆石子，每次可以從一堆裡面取任意個石子。對於一堆石子，SG 函式就是石子數。整個 遊戲的 SG 函式是每一堆石子的 SG 函式的異或和。 必勝：SG 不為 0，必敗：SG 為 0。

Bash Game

每次最多取 m 個石子，其他同 Nim。一堆石子的 SG 函式為石子數 mod(m + 1)。 必勝：SG 不為 0，必敗：SG 為 0。

Nim-k Game

每次最多可以同時從 k 堆石子進行操作，這 k 堆可以取不同數量的石子。 一堆石子的 SG 函式為石子數，對每一個二進位制位單獨算，求 SG 函式每一個二進位制位 1 的個數 mod(k + 1)，如果都為 0，則必敗，否則必勝。

Anti-Nim Game

不能取石子的一方獲勝。 必勝：SG 不為 0 且至少有一堆石子數大於 1，SG 為 0 且每一堆石子數都不超過 1 必敗：其餘為必敗。

Anti-SG Game SG

遊戲中最先不能行動的一方獲勝。 必勝：SG 不為 0 且至少有一個遊戲的 SG 大於 1，SG 為 0 且每一個遊戲的 SG 都不超過 1 必敗：其餘為必敗。

Staircase Nim

階梯博弈，每次可以從一個階梯上拿掉任意數量石子放到下一層階梯，不能操作的為輸。 SG 函式為奇數階梯上的石子的異或和，如果移動偶數層的石子到奇數層，對手一定可以 繼續移動這些石子到偶數層，使得其 SG 不變。 必勝：SG 不為 0，必敗：SG 為 0。

Lasker’s Nim Game

n 堆石子，每次可以從一堆裡面取任意個石子，或者選擇某堆至少為 2 的石子，分成兩堆 非空石子。 SG(0) = 0,SG(1) = 1,SG(2) = 2,SG(3) = 4。 對於 k ≥ 1，SG(4k) = 4k−1,SG(4k+1) = 4k+1,SG(4k+2) = 4k+2,SG(4k+3) = 4k+4。

Wythff Game

有兩堆石子，每次可以從一堆或者兩堆裡拿走一樣數目的石子，不能取的為輸。 必敗態為 (1,2)(3,5)(4,7)(6,10)…，差為 1、2、3、4… 每一對數的第一個數為前面沒出現的最小的正整數。
遞推公式：a[k]=⌊k(1+√5)/2⌋，b[k]=a[k]+k

翻硬幣遊戲

n 枚硬幣排成一排，有的正面朝上，有的反面朝上。遊戲者根據某些約束翻硬幣（如：每 次只能翻一或兩枚，或者每次只能翻連續的幾枚），但他所翻動的硬幣中，最右邊的必須是從正 面翻到反面。誰不能翻誰輸。 需要先開動腦筋把遊戲轉化為其他的取石子游戲之類的，然後用如下定理解決： 局面的 SG 值等於局面中每個正面朝上的棋子單一存在時的 SG 值的異或和。

每一次只能翻轉一枚硬幣

SG(0) = 0,SG(k) = 1(k > 0)。

每一次可以翻轉一枚或兩枚硬幣

SG(n) = n。

Twins Game

每次必須翻動兩個硬幣，而且這兩個硬幣的距離要在可行集 S = 1,2,3 中，相當於 Bash Game。

每一次必須翻連續的 n 個硬幣

SG(nk) = 1(k > 0)，其他 SG 函式值為 0。

Ruler Game

每一次可以翻任意長度的連續一段硬幣，SG(x) 為 x 中包含的 2 的最高次冪，即 SG(x) = ⌊log2 x⌋+ 1