本文未指明圖片來源為 Multiple View Geometry in Computer Vision 。

讀 Multiple View Geometry in Computer Vision 所做筆記。

第 9 章 《對極幾何與基本矩陣》，Epipolar Geometry and the Fundamental Matrix。

對極幾何研究的物件是雙檢視幾何，即兩張相鄰影像的位姿關係。

1. 對極幾何基本概念

1. 核點（epipole）：基線（baseline）與成像平面的交點。同時極點也可以理解為相鄰影像成像中心在本影像上的像，因為基線是兩個相鄰影像成像中心的連線。
2. 核平面（epipolar plane）：含有基線的平面，是一簇平面。可以看做是由基線與空間中任意一點構成的平面。
3. 核線（epipolar line）：核平面與成像平面的交線。可以看做是成像平面上的任意一點（非核點）與核點所定義的直線。

2. 基本矩陣 F

基本矩陣可以看做是將點投影（轉換）為直線，將左影像上的一個點投影到右影像上形成一條核線。

2.1 幾何推導基本矩陣

假設有一空間平面 π，將 π 上的點 X 投影到左右影像上，可以得到這個三維點在兩張影像上的像 x,x′，將空間平面上所有的點都進行投影，能夠得到左右影像上所有點的對應關係，這種對應關係可以使用單應矩陣（homography matrix, page 87）Hπ 描述：

x′=Hπx

右影像上的核線 l′ 可以由兩個點——右影像上的核點 e

′ 與右影像上的任意一點 x′ ——確定：

l′=e′×x′=[e′]×x′

將 x′=Hπx 代入：

l′=[e′]×Hπx=Fx

這樣就得到了基本矩陣的定義：

F=[e′]×Hπ

因為 x′ 在右核線 l′ 上，所以點積為 0 ：

x′Tl′=x′TFx=0

2.2 代數推導基本矩陣

空間中三維點 X 反向投影到左影像上得到點 x，這個過程可以用投影矩陣 PX=x 進行描述。

現在想辦法將 X 用 x 表示，P 是一個 4x3 的矩陣，不可逆。使用 P 的偽逆：P+=PT(PPT)−1，得

X=P+x

對於左影像 X 是對應一條直線上的所有點，可以使用下面的方程表示這一條直線：

X(λ)=P+x+λC

現在將這一條直線投影到右影像上，即可得到右影像的核線。投影的方式是在 X(λ) 上找到兩個點，將這兩點分別投影到右影像上，投影后的兩個點確定右影像上的核線。

取 λ 為0，得到直線上的第一個點 P+x ，取 λ 為 ∞ 得到直線上的第二個點 C （即左影像的成像中心）。將這個兩個點分別投影到右影像上，得到 P′P+x 與 P′C 。P′C=e′，左影像成像中心在右影像上的成像是核點。這兩個點叉乘即可得到右影像上的核線：

l′=(P′C)×(P′P+x)=[e′]×P′P+x=Fx

所以 F=[e′]×P′P+。

2.3 基礎矩陣的性質

1. 轉置對稱性：如果 F 是一對影像 (P,

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