1. Logistic與Softmax簡述

談到Logistic迴歸首先談到便是邏輯思諦分佈，其概率分佈如下圖所示：

可以看出該分佈函式是一條S形曲線，曲線以點(0,12)(0,12)作為對稱中心，且其值的範圍是從[0,1]$[0,1]$的。而二項Logistic迴歸便是引數化的邏輯思諦分佈。則對於有m$m$個已經標記好的樣本構成：(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…(xm,ym)$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),\dots (x_m,y_m)$（其中特徵向量x$x$是進行了增廣操作，將偏置b$b$新增進去了的），對應的分類y∈{0,1}$y\in \{0,1\}$，則可以將概率描述為：

hθ(x)=11+e

xp(−θx)$$h_{\theta }(x)=\frac{1}{1+exp(-\theta x)}$$
需要通過訓練確定引數θ$\theta$，使得下面的最小化損失函式最小化：
J(θ)=−1m[∑i=1myilog(hθ(xi))+(1−yi)log(1−hθ(xi)]$$J(\theta )=-\frac{1}{m}[\sum _{i=1}^m{y}_{i}log(h_{\theta }(x_i))+(1-y_i)log(1-h_{\theta }(x_i)]$$
而對於Softmax迴歸，其解決的是多分類問題。則對應的標記y∈{1,2,...k}$y\in \{1,2,...k\}$，其中k是分類的型別數目。對於給定的測試輸入x$x$，我們想用假設函式針對每一個類別jj估算出概率值p(y=j|x)$p(y=j|x)$。也就是說，我們想估計x$x$的每一種分類結果出現的概率。因此，我們的假設函式將要輸出一個

k$k$維的向量（向量元素的和為1）來表示這k$k$個估計的概率值。具體地說，我們的假設函式hθ(x)$h_{\theta }(x)$形式如下： hθ(xi)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢p(yi=1|xi;θ)p(yi=2|xi;θ)⋮p(yi=k|xi;θ)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥=1∑kj=1eθjxi⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢eθ1xieθ2xi⋮

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