什麼是中心極限定理

中心極限定理Central Limit Theorem：設從均值為μ、方差為σ^2;（有限）的任意一個總體中抽取樣本量為n的樣本，當n充分大時，樣本均值的抽樣分佈近似服從均值為μ、方差為σ^2/n的正態分佈。

注意：原來的分佈不一定要符合正態分佈，可以是任何的分佈，可以是離散也可以是連續，即無要求。n為sample size，每次取n個樣本，每次樣本的mean，分別為： 。這些樣本均值的分佈似正態分佈。當n到達一定大時，sample mean的頻率分佈很好符合normal distribution。

在同樣取樣次數，例如取10000次樣本均值，n越大，skew和kurtosis越接近零，說明n越大，越接近正態分佈。這個可以想象，n=1，就如同原來的分佈，n→∞時，mean就是μ，無方差的正態分佈，直線一條。

正態分佈適用於樣本均值，不管原來分佈是怎樣，即sampling distribution of the sample mean當sample size n越大時，越趨向正態分佈，且收斂得很快，即n=10的或者更小的時候已經和正態分佈非常相似，故用途非常廣泛。

注意是趨向，例如有些分散式有範圍的，而正態分佈只有x趨向±∞時，才為0。

中心極限定理的例子

中心極限定理的應用範圍很廣泛，例如我們知道一個分佈（可以是非正態分佈）的均值和標準差，例如一個戶外飲水的例子，當我們組織一個50人的隊伍時，這50人的人均飲水量符合正態分佈，帶多少水有90%概率能完全滿足。這就是推導和的例子。

在實際的應用情景中，通常取樣情況可知，而總本情況不詳，需要估計總本情況，如下面置信區間的例子：You sample 36 apples from you farm‘s harvest of over 200,000 apples. The mean weight of the sample is 112 grams (with a 40 gram sample standard deviation). What is the probability that the mean weight of all 200,000 apples is within 100 and 124 grams?

這裡給出一個樣本集的情況，這36個樣本（或者n=36的一次樣本集取樣中）=112，這36個樣本的σ=40。注意這裡給出的是一個樣本集的情況，不是多個樣板集的sampling distribution of the sample mean。從樣本的方差，可以估算總本方差。

還記得無偏差樣本方差嗎？是除以n-1，而不是n，無偏差樣本方差，可以近似為總本方差σ，進而可得樣本均值的方差

這個題目的相當於

然後查一下z table就可以了，Z score近似為1.8，查Z table可得此區間的概率為92.8%。