小談並查集及其演算法實現
並查集
一、演算法介紹:
並查集(Union-find Sets)是一種非常精巧而實用的資料結構,它主要用於處理一些不相交集合的合併問題。
並查集的基本操作有兩個:
1:合併
union(x, y):把元素 x 和元素 y 所在的集合合併,要求 x 和 y 所在的集合不相交,如果兩個集合相交則不合並。
2:查詢
find(x):找到元素 x 所在的集合的代表,該操作常用於判斷兩個元素是否位於同一個集合,只要將它們各自的代表比較一下就可以了。
並查集類似一個森林,是用樹形結構來實現的,所以以下的講解用樹形結構來構造模型:
事先宣告:
(1)一個集合對應一棵樹。
(2)一個集合中的元素對應一個節點。
二、演算法實現:
一、初始化:
我們用n個節點表示n個元素,有一點要特別注意:一個節點,若它的父節點等於它本身,則說明這個節點是根節點。
定義陣列 per[], per[x]代表x的父節點。初始化時我們把per[x] = x,相當於每個節點都是獨立的根節點(每個根節點都代表一個集合)
//n 代表一共有n個元素(n個節點)
for(int i = 1; i <= n; ++i){
per[i] = i;
}
二、查詢:
find(x),查詢元素x所在的集合,即查詢節點x在哪一棵樹上,這裡我們知道,在一棵樹中,根節點是唯一的,父節點子節點都是相對而言的。要想確定節點x在哪一課樹,我們只需要找到x的根節點就可以了。
如果判斷節點x 和 節點y在不在同一棵樹上,我們只需要找到x 和 y的根節點,若x和y的根節點相同,則x,y在同一顆樹上,否則在不用的樹上。
程式碼:
int find(int x){
int r = x;
//父節點等於自身的節點才是根節點,
//若 r 節點的父節點不是根節點,一直向上找。
if(r != per[x])
r = per[x];
return r;
}
圖1.1
如圖1.1所示:
我們令節點1為根節點。查詢節點4在哪一棵樹,我們只要找到4的根節點就可以了。
查詢過程: 找到4的父節點per[4]為2,不等於它本身,繼續向上查詢, 2它的父節點per[2]為1,不等於它本身,繼續向上查詢,1的父節點per[1]為1等於它本身,說明1是根節點。
這裡有一個路徑壓縮的優化, 當我們查詢到4的根節點為1時,我們直接將per[4] = 1,即直接把4連在根節點1上,而且在查詢4時還會找到2,可能還有其他的節點,將這些節點的per[]通通都設定為1,這樣下次再查詢4的子節點所在的樹時,查詢次數就縮短了1.
這裡壓縮路徑有兩種寫法,一種是遞迴的,一種是非遞迴的。
1> 遞迴:
int find(int x){
if(x == per[x])
return x;
return per[x] = find(per[x]);
}
2>非遞迴
int find(int x){
int r = x;
if(r != per[x])
r = per[x];
int i = x, j;
while(i != r){
j = per[i];
per[i] = r;
i = j;
}
return r;
}
請讀者自己模擬一下這兩種壓縮路徑的方式有何不同。
三、合併:
合併x 和 y所在的樹, 只需要把其中一個樹的根節點設定為令一個樹根節點的子節點即可;
void union(int x, int y){
int fx = find(x);//x的根節點為fx
int fy = find(y);//y的根節點為fy
if(fx != fy)
per[fx] = fy;
}
但是這裡有一個問題, 是把 x的根節點設定為 y根節點的子節點,還是把y的根節點設定為x根節點的子節點。
節點1和節點2是一棵樹,根節點為1, 節點3是一棵樹,根節點是自身為3.
圖1.2
圖1.3
如圖1.2所示:
現在我們根節點3作為根節點1的子節點,此時查詢2的根節點,只需要查詢一次。
如圖1,3所示
現在我們根節點1作為根節點3的子節點,此時查詢2的根節點,需要先找到1,再找到3,多了一次查詢。
所以這裡存在一種優化。我們可以設定一個數組rank[ ],用它來記錄每一棵樹的深度,合併時如果兩棵樹的深度不用,那麼從深度(rank)小的向深度(rank)達的連邊。(但注意,壓縮路徑時會使樹的深度發生變化,但我們不修改rank 的值)
int per[maxn];//記錄父節點
int rank[maxn];//記錄樹的深度
void init(){//初始化n個節點
for(int i = 1; i <= n; ++i){
per[i] = i;
rank[i] = 0;
}
}
//找到根節點,壓縮路徑
int find(int x){
if(x == per[x])
return x;
return per[x] = find(per[x]);
}
void union (int a, int b){
int fa = find(a);
int fb = find(b);
if(fb != fa){
if(rank[fa] < rank[fb]){
per[fa] = fb;
}
else{
per[fb] = fa;
if(rank[fa] == rank[fb]) rank[fa]++;
}
}
}
三、基礎例題解析:
題目大意:給出n個城市, m條無向路,問最少再修幾條路使所有城鎮都連通。
最基礎的並查集問題,遞迴壓縮路徑,沒有深度優化
AC程式碼
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define maxn 1100
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int per[1100];
int n, m;
//初始化節點
void init(){
for(int i = 1; i <= n; ++i)
per[i] = i;
}
//查詢根節點,遞迴壓縮路徑
int find (int x){
if(x == per[x])
return x;
return per[x] = find(per[x]);
}
//合併根節點
void join(int x, int y){
int fx = find(x);
int fy = find(y);
if(fx != fy)
per[fx] = fy;
}
int main (){
while(scanf("%d", &n),n){
scanf("%d", &m);
init();
int a, b;
while(m--){
scanf("%d%d", &a, &b);
join(a,b);
}
int ans = 0;
//判斷圖中有幾棵樹,只需要判斷有幾個根節點即可
//判斷方法;父節點等於本身的節點就是根節點
for(int i = 1; i <= n; ++i){
if(per[i] == i)
ans++;
}
//把這些根節點連通,最小需要ans - 1條邊
printf("%d\n", ans - 1);
}
return 0;
}
考察點:判斷是否成環,判斷圖中樹的個數
AC程式碼:非遞迴壓縮路徑,有深度優化
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define maxn 100000 + 100
int per[maxn];
int vis[maxn];
int flag;
int ran[maxn];
//查詢根節點,非遞迴壓縮路徑
int find(int x) {
int r = x;
while(r != per[r])
r = per[r];
int i,j;
i = x;
while(i != r){
j = per[i];
per[i] = r;
i = j;
}
return r;
}
//合併根節點,深度優化
void jion (int a, int b){
int fa = find(a);
int fb = find(b);
if(fb != fa){
if(ran[fa] < ran[fb]){
per[fa] = fb;
}
else{
per[fb] = fa;
if(ran[fa] == ran[fb]) ran[fa]++;
}
}
else
flag = 0;//判斷是否成環
}
int main (){
int a, b;
while(scanf("%d%d", &a, &b) != EOF){
if(a == -1 && b == -1)
break;
if(a == 0 && b == 0){
printf("Yes\n");
continue;
}
for(int i = 1; i <= 100000; ++i){
per[i] = i;
vis[i] = 0;
ran[i] = 0;
}
vis[a] = 1, vis[b] = 1;
flag = 1;
jion(a, b);
while(scanf("%d%d", &a, &b), a || b){
vis[a] = 1;//並不是所有的房間都用到了,所以需要標記一下
vis[b] = 1;
jion(a, b);
}
int ans = 0;
for(int i = 1; i <= 100000; ++i){
if(per[i] == i && vis[i])
ans++;
if(ans > 1){
flag = 0;
break;
}
}
if(flag) printf("Yes\n");
else printf("No\n");
}
return 0;
}
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本人菜鳥一個,如有不對的地方希望各位大神糾正。有關帶權並查集的問題會在日後更新
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