條件概率

首先，理解這兩個公式的前提是理解條件概率，因此先複習條件概率。

P(A|B)=P(AB)P(B)

理解這個可以從兩個角度來看。
第一個角度：在B發生的基礎上，A發生的概率。那麼B發生這件事已經是個基礎的條件了，現在進入B已經發生的世界，看看A發生的概率是多少。那麼分子就是B發生A也發生，分母就是B這個世界發生的概率了。分母如果是1，那麼成了什麼意思呢？

另一個角度是看韋恩圖。這裡A在B發生的基礎上發生的概率是A和B交集的陰影部分面積佔用B的比例。

那麼由條件概率出發，看一下變形出來的乘法公式：
P(AB)=P(A)⋅P(B|A)=P(B)⋅P(A|B)

也可以提供上面的兩個角度來理解這個公式，雖然可以由上面的直接推導，但是我們認為這是問題的思考的不同角度，不僅僅是公式之間的運算。

一：AB同時發生的概率是在A基礎上發生B的概率乘以A本身在外部發生的概率，也是B基礎上發生A的概率乘以B本身在外部發生的概率.
二：AB表示的是陰影部分的面積佔用A或者B的比例關係。

僅僅從形式上說，豎線後面的要在前面多乘以一個以達到平衡。

全概率

然後再看全概率公式。

一個別人舉的例子：

一個村子與三個小偷，小偷偷村子的事件兩兩互斥，求村子被偷的概率。

解釋：假設這三個小偷編號為A1,A2,A2；
偷東西的事件標記為B,不偷的話標記為：B⎯⎯⎯

那麼被偷的概率就是：要麼是A1，要麼是A2，要麼是A3，
如果是A1, 概率是什麼呢？首先得是A1,其次是村子被偷，也即是兩個事件都滿足，所以是P

又因這三個小偷兩兩互斥，表示不會同時去偷。所以被偷的概率是：

P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)

當然按照條件概率或者乘法公式展開：
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) （*）

PS: P(Ai),P(B|Ai)是已知的

問：是不是有想展開為：

P(B)=P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)的衝動？

當然這個式子是沒錯的，但是體現不了這個問題的解法：分階段。

（*）式子體現的是問題分為兩個階段：
1）選人，分割問題
2）計算分割的子問題的條件概率

對應的這裡來便是：
1）選小偷，誰去偷
2）選定的小偷作為條件，那麼他去偷的條件概率是什麼

所以將問題拆解為階段的問題便是全概率公式針對的問題。

貝葉斯公式

貝葉斯公式有意思極了，簡單說就是逆全概公式。

前面是問總體看來被偷的概率是多少，現在是知道了總體被偷了這件事，概率並不知道，問你個更有意思的問題，像是偵探斷案：是哪個小偷的偷的，計算每個小偷偷的概率。

這個特性用在機器學習，人工智慧領域相當好用。

也就是求：P(Ai|B)=P(AiB)P(B)

Ai:小偷i幹的；B:村子被偷了

首先是一個淳樸的條件概率的展開。
分母裡出現了P(B),剛剛討論的全概公式拿來用一用！
而P(AiB)=P(Ai)⋅P(B|Ai)

對應到上面的例子就鮮活一些：村子被偷了，求Ai偷的概率。

自然現在條件是P(B)，分子變形為P(AiB)=P(Ai)⋅P(B|Ai)，是因為假定就是Ai偷的，這是一個已知的概率。
分母P(B)=∑ni=1P(Ai)P(B|Ai)

20161223 update:

除了上面的思路外，通常需要注意的是分階段意味著時間的先後。在先進行的事件的基礎上進行後面的事件，就很容易計算概率：P(AB)=P(A)P(B|A)這種。

所以當我們需要計算先驗概率，即先發生的時間的概率時，總是想著用上面的這個型別來計算，且是通過條件概率進行過渡。