概述

無窮級數是表示函式、研究函式性質以及進行數值計算的一種工具。著重討論如何將函式展開成冪級數和三角級數的問題

本章包括常數項級數的概念和性質、常數項級數的審斂法、冪級數、函式展開成冪級數、函式的冪級數展開式的應用、函式項級數的一致收斂性及一致收斂級數的基本性質、傅立葉級數、一般周期函式的傅立葉級數

1、常數項級數的概念和性質

人們認識事物在數量方面的特徵，往往有一個由近似到精確的過程。在這種認識過程中，會遇到由有限個數量相加到無窮多個數量相加的問題

一般地，如果給定一個數列 $u_{1}, u_{2}, u_{3}, \dots, u_{n}, \dots,$ 那麼由這數列構成的表示式 $u_{1} + u_{2} + u_{3} + \dots + u_{n} + \dots$

u_{1} + u_{2} + u_{3} + \dots + u_{n} + \dots

叫做常數項無窮級數（簡稱常數項級數），記為

\sum_{i = 1}^{\infty} u_{i}

，其中

u_{n}

叫做級數的一般項

常數項級數的前 $n$ 項的和 $s_{n} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + \dots + u_{n} = \sum_{i = 1}^{n} u_{i}$ ， $s_{n}$ 稱為級數的部分和。當 $n$ 依次取 $1, 2, 3 ， \dots$ 時，它們構成一個新的數列（稱為級數的部分和數列）。根據這個數列有沒有極限，我們引進無窮級數的收斂與發散的概念

級數的部分和數列 ${s_{n}}$ 如果有極限 $s$ ，那麼稱無窮級數 $\sum_{i = 1}^{\infty} u_{i}$ 收斂，這時極限 $s$ 叫做這個級數的和，且 $s = u_{1} + u_{2} + u_{3} + \dots + u_{n} + \dots$

s = u_{1} + u_{2} + u_{3} + \dots + u_{n} + \dots

當級數收斂時，部分和 $s_{n}$ 是級數的和 $s$ 的近似值，它們之間的差值為 $r_{n} = s - s_{n}$ 叫做級數的餘項。用近似值 $s_{n}$ 代替和 $s$ 所產生的誤差是這個餘項的絕對值，即誤差是 $| r_{n} |$

級數與數列（部分和數列）有著緊密的聯絡。給定級數就有與之對應的部分和數列；反之，給定數列，就有以該數列為部分和數列的級數

按定義，級數與部分和數列同時收斂或同時發散（就是這麼定義的）。如果收斂，則有 $\sum_{i = 1}^{\infty} u_{i} = lim_{n \to \infty} s_{n} = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} u_{i}$

$\sum_{i = 0}^{\infty} a q^{i}$

i叫做等比級數（又稱為幾何級數），其中

a \neq 0

，

q

叫做級數的公比。等比級數在公比

| q | < 1

時收斂，在公比

| q | \geq 1

高等數學——無窮級數

概述

1、常數項級數的概念和性質

高等數學——無窮級數

高等數學總結（無窮級數）

高等數學：第十一章無窮級數（2）函式的冪級數展開式、傅立葉級數

高等數學：第十一章無窮級數（3）正弦級數、餘弦級數、週期為2L的周期函式的傅立葉級數

數學筆記30——無窮級數和收斂判定

【高等數學】淺談傅立葉級數與變換的理解（二）

高等數學:一些思考記錄

2012-2013-1 (實變函數56, 高等數學84)

高等數學之多元函數微分及其應用之小結

第一階段高等數學——常量與變量

第一階段高等數學——集合

高數學習-----無窮級數

9.高等數學-導數

[高數][高昆輪][高等數學上][第一章-函數與極限]05.極限的運算法則

[高數][高昆輪][高等數學上][第一章-函數與極限]04.無窮小與無窮大

[高數][高昆輪][高等數學上][第二章-導數與微分]02.函數的求導法則

[高數][高昆輪][高等數學上][第二章-導數與微分]03.高階導數

[高數][高昆輪][高等數學上][第二章-導數與微分]05.函數的微分

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