三大經典博弈 尼姆博奕 + 巴仕博弈 + 威佐夫博弈 +SG函式
一,特例分析
有三堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多的物品，規定每次至少取一個，多者不限，最後取光者得勝。
我們用（a，b，c）表示某種局勢，首先（0，0，0）顯然是奇異局勢，無論誰面對奇異局勢，都必然失敗。
第二種奇異局勢是（0，n，n），只要與對手拿走一樣多的物品，最後都將導致（0，0，0）。
任何奇異局勢（a，b，c）都有a^b^c =0。
如果我們面對的是一個非奇異局勢（a，b，c），要如何變為奇異局勢呢？ 只要將其中一個是
變成其他兩個數的異或就行了。
二，例題題目1：今有若干堆火柴，兩人依次從中拿取，規定每次只能從一堆中取若干根，可將一堆全取走，但不可不取，
最後取完者為勝，求必勝的方法。
備註： 若所有火柴數異或為0，則該狀態被稱為利他態，用字母T表示；否則， 為利己態，用S表示。
[定理1]：對於任何一個S態，總能從一堆火柴中取出若干個使之成為T態。
[定理2]：T態，取任何一堆的若干根，都將成為S態。
[定理 3]：S態，只要方法正確，必贏。
[定理4]：T態，只要對方法正確，必敗。
題目2：今有若干堆火柴，兩人依次從中拿取，規定每次只能從一堆中取若干根，可將一堆全取走，但不可不取，
最後取完者為負，求必勝的方法。
備註：若一堆中僅有1根火柴，則被稱為孤單堆。若大於1根，則稱為充裕堆。0：沒有富裕堆，1：有一個富裕堆 ，
2：有大於等於個富裕堆
[定理2]：S0 即僅有奇數個孤單堆，必敗，T0 態必勝。
[定理3]：S1態，只要方法正確，必勝
[定理4]：S2態，只要方法正確，必勝.
四，一般情況有N堆石子，其中第i堆有Pi顆石子，每次從某一堆裡選出若干石子去掉（但不能不去石子），兩人輪流取石，
誰不能繼續取誰就輸了。
備註： 若所有火柴數異或為0，則該狀態被稱為利他態，用字母T表示；否則， 為利己態，用S表示。若只有一堆石子，為T狀態
若有m堆石子，每堆有k顆石子， m堆為奇數時 ，為T狀
定理：
對於一個局面，令H=P1^P2^P3^… ^Pn。若H=0則為T局面，否則為s局面
總結：
有n堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多（或者最多m個，只需把每堆%m）的物品，規定每次至少
取一個，多者不限，最後取光者得勝。 把每堆數量求異或a1^a2^...^ai'^...^an，結果為零則先手必輸，否則必贏
三，Nim問題的擴充套件
問題：取石子問題
有N堆石子，其中第i堆有Pi顆石子，每次去掉某一堆裡最多m棵石子（m>0），兩人輪流取石，
誰不能繼續取誰就輸了。什麼情況下先手必勝，什麼情況下後手必勝?
解析：
將P1,P2,P3, … Pn 對m+1求餘得到q1,q2,q3, …，qn然後符合定理一的結果，記H=q1^q2^q3^ …^qn 。
若H=0則為T局面，否則為s局面。
備註： s: 為利己態，先手必勝，非奇異態。
T：為利他態，先手必敗，奇異態。
四，Nimk問題的取石子方法
問題：取石子問題
有N堆石子，其中第i堆有Pi顆石子，每次可以從最多K堆中選出若干石子去掉（但不能不去石子），
兩人輪流取石，誰不能繼續取誰就輸了。
什麼情況下先手必勝，什麼情況下後手必勝?
K=1，為Nim問題。
對於K>1的情況，我們令把P1~Pn這n個數，轉成二進位制，然後每位分別相加，每位最後結果mod (K+1)即可。
如果每一位結果都是0，則為T局面，否則是s局面
第二：Sprague-Grundy函式（SG函式）
一，概述：
如果我們把遊戲中的某一個局面看作一個頂點，把局面之間的轉換用邊來表示，
那麼很多遊戲都可以轉化成圖遊戲模型。圖遊戲模型 給定有向無環圖G=(V,E)和一個起始點，
雙方輪流行動。每個人每次可以從當前點出發沿著一條有向邊走到另外一個點。誰無法走了誰就輸。
一些圖遊戲可以通過Sprague-Grundy函式來判定先手的勝負情況（簡稱SG函式）。
SG函式 一個圖G=(V,E)的SG函式g，是定義在v上的一個非負整數函式：
g(x)=min{key>=0 | key≠g(y) for <x,y>∈E}
key屬於[0,n](n為頂點個數)
如果x的出度為0，那麼g(x)=0。（邊界條件）
g(x)就是x的後繼點的SG值中沒有出現過的最小值
解析：
這樣定義有什麼好處呢？我們把一個圖的當前狀態值定義為遊戲者處在的這個點的SG值。
如果遊戲者處在一個點x，g(x)≠0。那麼0, 1, …, g(x)-1這些數必然都出現在x的後繼節點的SG值中
而遊戲者可以走到這些點中的任意一個。也就是說：遊戲者可以通過一步走棋把圖的當前狀態值任意的減小
（當然必須保證狀態值始終>=0）。如果遊戲者處在一個點x，g(x)=0。那麼遊戲者無論如何移動，
下一個點的SG值都不等於0。
定理：
對於一個圖遊戲，如果圖的當前狀態等於0，那麼先手必敗，否則必勝。
擴充套件：
多圖遊戲 有多個圖，每個圖都有一個當前節點。兩個遊戲者輪流行動。每個人每次可以把某一個圖中的
當前節點沿著該點連出的有向邊移動到另一個點。無法移動的那個人輸。
結論:
設這些圖的當前狀態值分別是a1, a2, …, ak，如果：a1 ^ a2 ^ … ^ ak = 0，那麼先手必敗，否則必勝。
三，定理
1、 所有終結點都是必敗點P
2、所有一步能走到必敗點P的就是N點;
3、通過一步操作只能到N點的就是P點；
第三：巴仕博弈（Bash Game）
一，題目：
只有一堆n個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物，規 定每次至少取一個，最多取m個。最後取光者得勝。
二，分析
1，如果n=m+1，那麼由於一次最多隻能取m個，所以，無論先取者拿走多少個，
後取者都能夠一次拿走剩餘的物品，後者取勝。必敗
2，法則：如果n=（m+1)*r+s，（r為任意自然數，s≤m),那麼先取者要拿走s個物品，如果後取者拿走k（≤m)個，
那麼先取者再拿走m+1-k個，結果剩下（m+1）（r-1）個，以後保持這樣的取法，那麼先取者肯定獲勝。
總之，要保持給對手留下（m+1）的倍數，就能最後獲勝。必勝局
3，備註：
P點：即必敗點，某玩家位於此點，只要對方無失誤，則必敗；
N點：即必勝點，某玩家位於此點，只要自己無失誤，則必勝。
第四：威佐夫博弈（Wythoff Game）
一，題目：
有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取一個，
多者不限，最後取光者得勝
二，解析
1，。我們用（a[k]，b[k]）（a[k] ≤ b[k] ,k=0，1，2，...,n)表示兩堆物品的數量並稱其為局勢。
2，如果甲面對（0，0），那麼甲已經輸了，這種局勢我們稱為奇異局勢。
3，奇異局（舉例）
首先列舉人們已經發現的前幾個奇異局勢：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）
（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
通過觀察發現：a[0]=b[0]=0,a[k]是未在前面出現過的最小自然數,而 b[k]= a[k] + k。
4，奇異局勢有如下三條性質：
1）任何自然數都包含且僅包含在一個奇異局勢中。
2）任意操作都可以使奇異局勢變為非奇異局勢。
3）必有一種操作可以使非奇異局勢變為奇異局勢。
5，奇異局勢公式：
a[k]=[k*(1+√5)/2]，b[k]=a[k]+k。
(k=0,1,2......，[ ]表示取整）
有趣的是，式中的(1+√5)/2正是黃金分割比例。
6，判斷
可以看出，如果兩人都採取正確的操作，那麼對於非奇異局勢，先拿者必勝，對於奇異局勢，
先拿者必敗。
第五，SG函式模板
//模板：（SG函式）
int f[N],sg[N],hash[N];
void getSG(int n)
{
int i,j;
memset(sg,0,sizeof(sg));
for(i=1;i<=n;i++)
{
memset(hash,0,sizeof(hash));
for(j=1;f[j]<=i;j++)
hash[sg[i-f[j]]]=1;
for(j=0;j<=n;j++)
{
if(hash[j]==0)
{
sg[i]=j;
break;
}
}
}
}第六，威佐夫博弈模板
//威佐夫博弈模板
#include <stdio.h>
#include <math.h>
const double Gsr=(1+sqrt(5.0))/2;
void swap(int &a,int &b)
{
int t=b;
b=a;
a=t;
}
int main()
{
int a,b;
while(~scanf("%d%d",&a,&b))
{
if(a>b)
swap(a,b);
if(a == (int)(Gsr*(b-a))) //奇異局勢，先拿者輸
puts("First Lose");
else
puts("First Win");
}
return 0;
}