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HDU 2047 阿牛的EOF牛肉串

分析:

      分析題意,我們知道這是一道排列計數問題。而且,題意的要求是對於給定字串長度n,給出對應的方案數m。我很容易聯想到“f(n) = m”這樣的函式關係。並且,題目中的限制條件只有“兩個O不能相鄰”。計數 + 簡單限制 = 遞推。接下來的問題就是求出遞推公式了。

* 第n格取“O”:

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|   |   |   | …… |     |     |  O  |
----------------------------------
 1   2   3          n-2 n-1   n


    -----------------------------------
    |   |   |   | …… |     |  E  |  O  |
    -----------------------------------
      1   2   3         n-2  n-1   n


    -----------------------------------
    |   |   |   | …… |     |  F  |  O  |
    -----------------------------------
      1   2   3         n-2  n-1   n

      對於第n格取“O”的情況,為了保證兩個“O”不相鄰,n-1格有兩種可能,即“E”、“F”。對於餘下的n-2格,由於第n-1格不取“O”,所以第n-2格不受n-1格的限制。其排列數等於f(n-2)。

* 第n格不取“O”:
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|   |   |   | …… |     |     |  E  |
----------------------------------
  1   2   3         n-2  n-1  n


----------------------------------
|   |   |   | …… |     |     |  F  |
----------------------------------
  1   2   3         n-2  n-1  n

      對於第n格不取“O”的情況,即取“E”、“F”。對於餘下的n-1格,由於第n格不取“O”,所以,第n-1格不受n格的限制。其排列數等於f(n-1)。

      綜上,f(n) = 2*f(n-2) + 2*f(n-1)
           = 2*(f(n-2) + f(n-1))

      這裡,再說明一下“第n-1格不受n格的限制”這樣一個條件。例如,n=4。如果,第4格取“O”,那麼剩下的3格的方案數是多少呢??肯定不是f(3)。因為,當n=3時,即只有3格的時候,第3格是可以取“O”的。而例子中的3格中,第3格很明顯不能取“O”。所以,剩下的3格方案數不是f(3)。如果,第4格取“E”或者“F”,那麼剩下的3格的方案數又是多少呢??肯定是f(3)。這就是,是否受限制的差別。這是在遞迴中很重要的一個概念——什麼是子結構。大家在日常的訓練中要多加註意,不能盲目的識別子結構。


源程式:(VC++ 6.0)