1.多層前饋神經網路
首先說下多層前饋神經網路，BP演算法，BP神經網路之間的關係。多層前饋（multilayer feed-forward）神經網路由一個輸入層、一個或多個隱藏層和一個輸出層組成，後向傳播(BP)演算法在多層前饋神經網路上面進行學習，採用BP演算法的（多層）前饋神經網路被稱為BP神經網路。給出一個多層前饋神經網路的拓撲結構，如下所示：

圖1 多層前饋神經網路

神經網路的拓撲結構包括：輸入層的單元數、隱藏層數(如果多於一層)、每個隱藏層的單元數和輸出層的單元數。神經網路可以用於分類（預測給定元組的類標號）和數值預測（預測連續值輸出）等。


2.後向傳播（BP）演算法詳解
（1）初始值權重
神經網路的權重被初始化為小隨機數，每個神經元都有一個相關聯的偏置，同樣也被初始化為小隨機數。
（2）前向傳播輸入
以單個神經網路單元為例，如下所示：

圖2 神經網路單元

給定隱藏層或輸出層的單元j$j$，到單元j$j$的淨輸入Ij$I_j$，如下所示：

Ij=∑iwijOi+θj$$I_j=\sum _i{w}_{ij}{O}_i+{\theta }_j$$
其中，wij$w_{ij}$是由上一層的單元i$i$到單元j$j$的連線的權重；Oi$O_i$是上一層的單元i$i$的輸出；θj${\theta }_j$是單元j$j$的偏置。需要說明的是偏置充當閥值，用來改變單元的活性。
給定單元j$j$的淨輸入Ij$I_j$，單元j$j$的輸出Oj$O_j$，如下所示：
Oj=11+e−Ij$$O_j=\frac{1}{1+e^{-I_j}}$$
（3）後向傳播誤差

1. 對於輸出層單元j$j$，誤差Errj$Er{r}_j$用下式計算：
   Errj=Oj(1−Oj)(Tj−Oj)$$Er{r}_j=O_j\left(1-O_j\right)(T_j-O_j$$
   )
   其中，Oj$O_j$是單元j$j$的實際輸出，而Tj$T_j$是j$j$給定訓練元組的已知目標值。需要說明的是，Oj(1−Oj)$O_j\left(1-O_j\right)$是邏輯斯締函式的導數。
2. 對於隱藏層單元j$j$，它的誤差用下式計算：
   Errj=Oj(1−Oj)∑kErrkwjk$$Er{r}_j=O_j\left(1-O_j\right)\sum _{k}Er{r}_k{w}_{jk}$$
   其中，wjk$w_{jk}$是由下一較高層中單元k$k$到單元j$j$的連線權重，而Errj$Er{r}_j$是單元k$k$的誤差。
3. 權重更新，如下所示：
   Δwij=(l)Errj

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