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機器學習常見的矩陣求導總結

阿新 • • 發佈：2019-02-01

常見求導公式

1.

∂(xTAx)∂x=(AT+A)x，x為向量

2.
∂tr(XTX)∂X=2X，X為矩陣

3.
∂tr(XTAX)∂X=(A+AT)X，X為向量

4.
∂tr(ATB)∂A=B，X為向量

5.
∂tr(X)X=I，X為向量

6.
∂((y−Xw)T(y−Xw))∂w=2XT(Xw−y)

  其中w為向量，X為矩陣

證明

幾個定理

證明以上公式之前，先看幾個定理。

  1. 命題：如果
    df(X)=tr(AdX)

        那麼
    ∂f(X)X=AT

    對向量x也是如此。
  2. tr(ATB)=tr(BTA)
  3. (dX)T=(dx)T
  4. d(tr(X))=t
    r(dX)

公式證明

  1. ∂(xTAx)∂x=(AT+A)x，x為向量

    證明：首先將標量函式寫成跡函式形式，然後利用矩陣乘積的微分易得df(x)=d(tr(xTAx))=tr[(dx)TAx+xTAdx]=tr([dxTAx]T+xTAdx)=tr(xTATdx+xTAdx)=tr(xT(A+AT)dx)
    由命題可知：∂tr(xTAx)∂x=[xT(A+

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