組合數C(n,m)的四種計算方法
阿新 • • 發佈:2019-02-05
轉載自
組合c(m,n)的計算方法
2017年10月13日 ⁄ 綜合 ⁄ 共 2603字 ⁄ 字號 小 中 大 ⁄ 評論關閉
問題:求解組合數C(n,m),即從n個相同物品中取出m個的方案數,由於結果可能非常大,對結果模10007即可。
共四種方案。ps:注意使用限制。
方案1:
暴力求解,C(n,m)=n*(n-1)*...*(n-m+1)/m!,n<=15 ;
int Combination(int n, int m) { const int M = 10007; int ans = 1; for(int i=n; i>=(n-m+1); --i) ans *= i; while(m) ans /= m--; return ans % M; } int Combination(int n, int m) { const int M = 10007; int ans = 1; for(int i=n; i>=(n-m+1); --i) ans *= i; while(m) ans /= m--; return ans % M; }
方案2:
打表,C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m),n<=10,000
const int M = 10007; const int MAXN = 1000; int C[MAXN+1][MAXN+1]; void Initial() { int i,j; for(i=0; i<=MAXN; ++i) { C[0][i] = 0; C[i][0] = 1; } for(i=1; i<=MAXN; ++i) { for(j=1; j<=MAXN; ++j) C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % M; } } int Combination(int n, int m) { return C[n][m]; } const int M = 10007; const int MAXN = 1000; int C[MAXN+1][MAXN+1]; void Initial() { int i,j; for(i=0; i<=MAXN; ++i) { C[0][i] = 0; C[i][0] = 1; } for(i=1; i<=MAXN; ++i) { for(j=1; j<=MAXN; ++j) C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % M; } } int Combination(int n, int m) { return C[n][m]; }
方案3:
質因數分解,C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!),C(n,m)=p1a1-b1-c1p2a2-b2-c2…pkak-bk-ck,n<=10,000,000
#include <cstdio> const int maxn=1000000; #include <vector> using namespace std; bool arr[maxn+1]={false}; vector<int> produce_prim_number() { vector<int> prim; prim.push_back(2); int i,j; for(i=3;i*i<=maxn;i+=2) { if(!arr[i]) { prim.push_back(i); for(j=i*i;j<=maxn;j+=i) arr[j]=true; } } while(i<maxn) { if(!arr[i]) prim.push_back(i); i+=2; } return prim; } //計算n!中素數因子p的指數 int cal(int x,int p) { int ans=0; long long rec=p; while(x>=rec) { ans+=x/rec; rec*=p; } return ans; } //計算n的k次方對m取模,二分法 int pow(long long n,int k,int M) { long long ans=1; while(k) { if(k&1) { ans=(ans*n)%M; } n=(n*n)%M; k>>=1; } return ans; } //計算C(n,m) int combination(int n,int m) { const int M=10007; vector<int> prim=produce_prim_number(); long long ans=1; int num; for(int i=0;i<prim.size()&&prim[i]<=n;++i) { num=cal(n,prim[i])-cal(m,prim[i])-cal(n-m,prim[i]); ans=(ans*pow(prim[i],num,M))%M; } return ans; } int main() { int m,n; while(~scanf("%d%d",&m,&n),m&&n) { printf("%d\n",combination(m,n)); } return 0; }
方案4:
Lucas定理,將m,n化為p進位制,有:C(n,m)=C(n0,m0)*C(n1,m1)...(mod p),算一個不是很大的C(n,m)%p,p為素數,化為線性同餘方程,用擴充套件的歐幾里德定理求解,n在int範圍內,修改一下可以滿足long long範圍內。
#include <stdio.h>
const int M = 2013;
int ff[M+5]; //打表,記錄n!,避免重複計算
//求最大公因數
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0)
return a;
else
return gcd(b,a%b);
}
//解線性同餘方程,擴充套件歐幾里德定理
int x,y;
void Extended_gcd(int a,int b)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
}
else
{
Extended_gcd(b,a%b);
long t=x;
x=y;
y=t-(a/b)*y;
}
}
//計算不大的C(n,m)
int C(int a,int b)
{
if(b>a)
return 0;
b=(ff[a-b]*ff[b])%M;
a=ff[a];
int c=gcd(a,b);
a/=c;
b/=c;
Extended_gcd(b,M);
x=(x+M)%M;
x=(x*a)%M;
return x;
}
//Lucas定理
int Combination(int n, int m)
{
int ans=1;
int a,b;
while(m||n)
{
a=n%M;
b=m%M;
n/=M;
m/=M;
ans=(ans*C(a,b))%M;
}
return ans;
}
int main()
{
int i,m,n;
ff[0]=1;
for(i=1; i<=M; i++) //預計算n!
ff[i]=(ff[i-1]*i)%M;
while(~scanf("%d%d",&n, &m))
{
printf("%d\n",Combination(n,m));
}
return 0;
}