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非常經典的網絡流模型。

最大權閉合子圖

我們將樣例用圖的形式表達

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1 2 3
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1 3 3
1 4 2
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接下來我們引入有向圖的閉合子圖的概念

定義一個有向圖的閉合圖（closure）\(G=(V,E)?\)是該有向圖的一個點集，且該點集的所有出邊都還指向該點集。即閉合圖內的任意點的任意後繼也一定在閉合圖中。

在本圖中，如果我們選擇了左邊的一個點，那麽其後繼一定也要被選中。這就是有向圖的閉合子圖。事實上，我們可以將其轉化為最小割的模型。我們將正權點連向源點\(S\)，邊權為點權，負權點連向匯點\(T\)

我們使用最小割，中間的不可割，左邊割了就意味著放棄了第\(i?\)名用戶的權益，右邊割了就意味著建第\(i?\)個基站。最後，所有正權點的點權之和減去得到的最小割即為答案。

求最小割可以用“最大流=最小割”定理解決。

上代碼

//1為源點，2~1+m為用戶，2+m~n+m+1為第i個基站，n+m+2為匯點
#include<bits/stdc++.h>
#define inf 2147483647
#define T n+m+2
#define N 400000
using namespace std;
int cc,to[N],net[N],fr[N],len[N],fx[N],c[N],q[N];
bool vis[N];int n,m,a,u,v,l,sum;
void addedge(int u,int v,int l)
{
    cc++;
    to[cc]=v;net[cc]=fr[u];fr[u]=cc;len[cc]=l;fx[cc]=cc+1;
    cc++;
    to[cc]=u;net[cc]=fr[v];fr[v]=cc;len[cc]=0;fx[cc]=cc-1;
}//建邊
bool bfs()
{
    int h=1,t=1;
    for (int i=1;i<=T;i++)
      c[i]=0,vis[i]=false;
    q[1]=1;c[1]=1;vis[1]=true;
    while (h<=t)
    {
        for (int i=fr[q[h]];i;i=net[i])
        {
            if (vis[to[i]]||(!len[i])) continue;
            q[++t]=to[i];
            c[to[i]]=c[q[h]]+1;vis[to[i]]=true;
        }
        h++;
    }
    return vis[T];
}
int dfs(int x,int k)
{
    int ff=0;
    if (x==T) return k;
    for (int i=fr[x];i;i=net[i])
    {
        if (len[i]&&c[to[i]]==c[x]+1)
        {
            int y=min(k,len[i]);
            int re=dfs(to[i],y);
            len[i]-=re;
            len[fx[i]]+=re;
            ff+=re;k-=re;
        }
        if (k<=0) break;
    }
    return ff;
}
int dinic()
{
    int ans=0;
    while (bfs())
    {
        ans+=dfs(1,inf);
    }
    return ans;
} //跑dinic
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m); 
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a);
        addedge(m+1+i,T,a);
    }
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&l);
        sum+=l;
        addedge(1,1+i,l);
        addedge(1+i,1+m+u,inf);
        addedge(1+i,1+m+v,inf);
    }
    cout<<sum-dinic(); 
    return 0;
} 
 

參考資料

[1] 胡伯濤 《最小割模型在信息學競賽中的應用》2007

Luogu P4174 [NOI2006\]最大獲利|網絡流