反演公式總結

阿新 • • 發佈：2019-02-08

##定義

$G_n=\sum_{i=0}^n a_{n,i}F_i$
$F_n=\sum_{i=0}^n b_{n,i}G_i$

可認為 $a$ 、 $b$ 是兩個下三角矩陣，且 $a \cdot b = I$

###二項式反演
$G_n=\sum_{i=0}^n {n \choose i}F_i\iff G_n=\sum_{i=0}^n (-1)^{n-i}{n \choose i}F_i$

G_{n} = i = 0 \sum n (i n) F_{i} ⟺ G_{n} = i = 0 \sum n (- 1)^{n - i} (i n) F_{i}

###斯特林反演
$G_n=\sum_{i=0}^n \begin{Bmatrix} n\\i \end{Bmatrix}F_i\iff F_n=\sum_{i=0}^n \begin{bmatrix} n\\i \end{bmatrix}G_i$

###莫比烏斯反演
$f_{n} = \sum_{d ∣ n} g_{d} ⟺ g$

n=∑d∣nμndfdf_n=\sum_{d|n}g_d\iff g_n=\sum_{d|n}\mu_{\frac{n}{d}}f_d

f_{n} = d ∣ n \sum g_{d} ⟺ g_{n} = d ∣ n \sum μ_{d n} f_{d}

###集合形式

$g_S=\sum_{T \subseteq S} f_T \iff f_S = \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|S|-|T|} g_T$

###最值反演
$\max {S} =$

∑T⊆S(−1)∣T∣−1min⁡{T}\max\{S\}=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\min\{T\}

max {S} = T \subseteq S \sum (- 1)^{∣ T ∣ - 1} min {T}

###推廣

kth\max(S)=\sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T|-k} {|T|-1 \choose k-1} \min(T)

反演公式總結

##定義 Gn=∑i=0nan,iFiG_n=\sum_{i=0}^n a_{n,i}F_iGn=i=0∑nan,iFi Fn=∑i=0nbn,iGiF_n=\sum_{i=0}^n b_{n,

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