hihocoder 1303

描述

小Ho：今天我聽到一個挺有意思的故事！

小Hi：什麼故事啊？

小Ho：說秦末，劉邦的將軍韓信帶領1500名士兵經歷了一場戰鬥，戰死四百餘人。韓信為了清點人數讓士兵站成三人一排，多出來兩人；站成五人一排，多出來四人；站成七人一排，多出來六人。韓信立刻就知道了剩餘人數為1049人。

小Hi：韓信點兵嘛，這個故事很有名的。

小Ho：我覺得這裡面一定有什麼巧妙的計算方法！不然韓信不可能這麼快計算出來。

小Hi：那我們不妨將這個故事的數學模型提取出來看看？

小Ho：好！

<小Ho稍微思考了一下>

小Ho：韓信是為了計算的是士兵的人數，那麼我們設這個人數為x。三人成排，五人成排，七人成排，即x mod 3, x mod 5, x mod 7。也就是說我們可以列出一組方程：

x mod 3 = 2
x mod 5 = 4
x mod 7 = 6

韓信就是根據這個方程組，解出了x的值。

小Hi：嗯，就是這樣！我們將這個方程組推廣到一般形式：給定了n組除數m[i]和餘數r[i]，通過這n組(m[i],r[i])求解一個x，使得x mod m[i] = r[i]。

小Ho：我怎麼感覺這個方程組有固定的解法？

小Hi：這個方程組被稱為模線性方程組。它確實有固定的解決方法。不過在我告訴你解法之前，你不如先自己想想怎麼求解如何？

小Ho：好啊，讓我先試試啊！

輸入

第1行：1個正整數, N，2≤N≤1,000。

第2..N+1行：2個正整數, 第i+1行表示第i組m,r，2≤m≤20,000,000，0≤r<m。

計算過程中儘量使用64位整型。

輸出

第1行：1個整數，表示滿足要求的最小X，若無解輸出-1。答案範圍在64位整型內。

樣例輸入

3

3 2

5 3

7 2

樣例輸出

23

Solution

中國剩餘定理，注意解不定方程組的一些細節

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
#define LL long long
#define L 1010
using namespace std;

int n, m[L], r[L];
LL M, R;

inline LL gcd(LL x, LL y) {
  return (x % y == 0) ? y : gcd(y, x % y);
}

inline void exgcd(LL a, LL b, LL& x, LL& y) {
  if (!b) {x = 1, y = 0;}
  else {
    exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= (a / b) * x;
  }
}

inline LL solve() {
  M = m[1], R = r[1];
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    LL d = gcd(M, m[i]), c = r[i] - R;
    if (c % d) return -1;
    LL x, y;
    exgcd(M / d, m[i] / d, x, y);
    x = (c / d * x) % (m[i] / d);
    R += x * M;
    M = M / d * m[i];
    R %= M;
  }
  if (R < 0) R += M;
  return R;
}

int main() {
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d %d", &m[i], &r[i]);
  printf("%lld\n", solve());
  return 0;
}
 

Summary

注意需要判斷無解的情況，所以不能一味的用通解