HDU 1573 X問題 (中國剩餘定理 模線性方程組)
阿新 • • 發佈:2019-02-05
思路:
方法1:
問題可以轉化為求模線性方程組。
設要求得的滿足方程組的最小正整數為n;
可以得到:
變形之後:
對式(1),我們可以看作
對於這個式子,我們可以用擴充套件歐幾里得演算法求得x的最小整數解。所以最小正整數為
我們求解出來的
k∗a2/gcd(a1,a2)(k為任意整數)(moda1∗a2/gcd(a1,a2))
以上,我們就完成了對兩個模線性方程的合併,接下來只要逐一進行合併,到最後只剩一個模線性方程時,就能很輕易地求解了。
#include <iostream>
#include <cstdio>
typedef long long int lli;
using namespace std;
int a[12];
int b[12];
lli egcd(lli a,lli b,lli &x,lli &y){
if(b == 0){
x = 1 ;
y = 0;
return a;
}
lli ans = egcd(b,a%b,x,y);
lli temp = x;
x = y;
y = temp - a/b*x;
return ans;
}
int main()
{
int t;
int n,num;
cin>>t;
while(t--){
scanf("%d%d",&n,&num);
for(int i = 1;i <= num;i++){
scanf ("%d",a+i);
}
for(int i = 1;i <= num;i++){
scanf("%d",b+i);
}
lli b1 = b[1];
lli a1 = a[1];
lli x,y;
int flag = 0;
for(int i = 2;i <= num;i++){
lli gcd = egcd(a1,a[i],x,y);
if((b[i]-b1) % gcd != 0){//這是模線性方程有整數解的充要條件
flag = 1;
break;
}
lli temp = a[i]/gcd;
x = x * (b[i]-b1)/gcd; // 也是約分的問題
x = (x%(temp) + temp) % (temp);
b1 = b1 + a1*x;
a1 = a1 * temp;// a1 = a1*a[i]/gcd
}
if(flag == 1 || n < b1){
puts("0");
}
else{
lli ans = (n-b1)/a1 + 1;
if(b1 == 0) ans--;
printf("%I64d\n",ans);
}
}
return 0;
}
方法2:
先求出所有
最後在1到n%lcm這個區間在找有沒有符合的數,有的話,+1。
#include <iostream>
#include <cstdio>
typedef long long int lli;
using namespace std;
int a[12];
int b[12];
lli gcd(lli a,lli b){
return b == 0 ? a : gcd(b,a%b);
}
int main(){
int t;
int n,num;
cin>>t;
while(t--){
scanf("%d%d",&n,&num);
lli lcm = 1;
for(int i = 1;i <= num;i++){
scanf("%d",a+i);
lcm = lcm * a[i] / gcd(lcm,a[i]);
}
for(int i = 1;i <= num;i++){
scanf("%d",b+i);
}
lli ans = 0;
int flag;
for(int i = n%lcm + 1;i <= n%lcm + lcm;i++){
flag = 1;
for(int j = 1;j <= num;j++){
if(i%a[j] != b[j]){
flag = 0;
break;
}
}
if(flag == 1){
ans += n/lcm;
}
}
for(int i = 1;i <= n%lcm;i++){
flag = 1;
for(int j = 1;j <= num;j++){
if(i%a[j] != b[j]){
flag = 0;
break;
}
}
if(flag == 1){
ans += 1;
}
}
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;}