Low-Rank and Sparse Decomposition Model for Accelerating Dynamic MRI Reconstruction，本文源自2017年8月8日的Journal of Healthcare Engineering,截圖如下
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介紹

理論背景

k-t空間的動態磁共振資料採集可以用下式表示

y(k,t)=∫x(r,t)exp(−2πjk⋅r)dr+n(k,t).(1)
其中y(k,t)表示觀測到的k-t空間訊號，x(r,t)表示期望的動態影象序列，n(k,t)為觀測噪聲，它可以用一個額外的白噪聲的高斯分佈[16][17]來進行合理的模擬.

本文中，問題的解決方案是為了從降取樣的觀測資料y

(k,t)中找出磁共振影象x(r,t)的最近似表示，(1)式可以轉換為一個逆問題，並且可以重寫成向量形式[18]。

Y=RFX+n.(2)
其中Y=[y1|…|yT]，X=[x1|…|xT]，n=[n1|…|nT]， T是框架中的元素個數，F為傅立葉變換運算元，觀測矩陣R為降取樣掩模，它被用於k空間。

基於壓縮感知的磁共振影象重建

壓縮感知方法[5,19]被提出用於從部分取樣的k空間資料Y中重建出磁共振影象X,這一過程是利用稀疏變換和凸優化演算法來實習的。如果我們找到滿足式(2)的稀疏向量，那麼問題將得到解決。

minX∥DX∥0s.t.∥Y−RFX∥2≤ϵ(3)
其中∥⋅∥是l

0範數，它用來計算向量中非零元素的個數，D是稀疏變換或者字典，ϵ是一個較小的常數。不幸的是，(3)是NP難問題，這需要通過蠻力搜尋來解決。壓縮感知理論[8]提供了凸鬆弛方法，指的是(3)式中的l0範數可以用l0範數最小化來代替，
minX∥DX∥1s.t.∥Y−RFX∥2≤ϵ,(4)
其中∥⋯∥是l1範數，表示向量的絕對值之和。

低秩稀疏分解

基於壓縮感知的技術已經完全成功地應用於磁共振影象重建，它利用了影象在變換域
的稀疏性。然而， 壓縮感知的效能主要依賴於特定的字典或者稀疏運算元，這限制了最大可實現的加速度。因此，一些研究者嘗試研究一些新方法來重建磁共振影象[20-24]。這些方法中，低秩矩陣恢復是醫學影象處理中最流行的一項技術。

低秩的基本假設和[18]一樣，也即，影象X是同時稀疏（在影象域內）並且低秩的。現在的問題是從給定的少量k-空間資料Y中恢復X, 少量資料是相對矩陣中的元素個數而言的。我們假定矩陣的近似秩為r，影象的大小為M×N。當矩陣X是低秩時，它只有r(M+N−r)個自由度而不是MN個， 這就有可能從少量的取樣點中通過解決秩最小化問題來恢復矩陣X，

minrank(x)s.t.∥Y−M（X)∥2≤ϵ(5)
然而，秩最小化問題，也即解決式(5)， 是組合問題也是NP難問題[25]。因此，凸鬆弛經常用於使得最小化問題更容易處理。
minX∥X∥∗s.t.∥Y−M（X)∥2≤ϵ(6)
其中M表示任意的線性運算元，∥X∥∗是核範數，可以定義為