快速冪演算法及其拓展

摘要

本文講解了快速冪演算法的定義、複雜度證明及兩種實現（遞迴與非遞迴），以及它的兩個重要拓展：快速冪模M演算法和矩陣快速冪。其中矩陣快速冪演算法是矩陣求冪問題對整數求冪問題的借鑑，實際應用中對於線性遞推式求解能起到強大的效率優化。

快速冪演算法

問題引入：求an(a,n∈N+)
樸素演算法：令ans初始值為1，乘n次a得到an
樸素演算法時間複雜度：O(n)

問題：如果n非常大，比如高達1015，怎麼辦？
思考：樸素演算法哪裡可以優化？

樸素演算法的特點是，連乘過程中底數始終為a，這很不聰明。考慮下例：
a=2,n=15
我們沒有必要乘15次2，注意到15=23+2

2+21+20，不妨將215拆分為223×222×221×220
然後看一下n的二進位制形式：15=(1111)2.為什麼要看這個呢？再舉一個例子。

a=2,n=6
26=222×221，而6=(110)2

發現什麼規律？
觀察發現，當n的第i位（從低到高，i>=0）為1時，an的拆解表示式裡就要乘上一項a2i.

於是我們有了樸素演算法改進的思路：逐位判斷冪次n的二進位制位是否為1，若是，給答案乘上一個a2i.
改進後的演算法的虛擬碼描述如下：

a, n, ans;
ans=1;
while n>0
    a = a*a;
    if n%2
        ans = ans 
*a;
    n = n/2;

這個演算法的時間複雜度是多少呢？很顯然，它取決於n的二進位制形式有多少位，因此T(n)=⌈log2(n)⌉=O(logn).這就是快速冪演算法。

其實快速冪演算法還可以遞迴實現，因為：
當n為偶數時，an=(an/2)2
當n為奇數時，an=(an/2)2×a
邊界條件：當n=1，答案為a
C語言描述如下：

int quick_power(int a, int n)
{
    if(n == 1) return a;
    int x = quick_power(a, n/2);
    long long ans = (long long)x*x;
    if 
(n%2) ans *= a;
    return (int)ans;
}

程式碼中加入了防溢位處理，用快速冪演算法的時候比較容易犯的一個錯誤就是忘了考慮溢位，因此在使用的時候要看清楚資料範圍，估算一下答案上界。另外，快速冪演算法不推薦用遞迴實現，因為非遞迴版本不但程式碼也很簡潔，而且效率還更優。

拓展一：快速冪模M演算法

有時候所求冪的結果可能很大，於是問題要求對結果模上一個數M。我們只需要在原來演算法的基礎上運用一下模運算的性質即可。所謂模運算性質是指以下兩條：
∑ni=1aimodM=(∑ni=1aimodM)modM
∏ni=1aimodM=(∏ni=1aimodM)modM
演算法非遞迴實現的虛擬碼描述為

a, n, ans, M;
ans=1;
while n>0
    a = a*a % M;
    if n%2
        ans = ans*a % M;
    n = n/2;

拓展二：矩陣快速冪演算法

快速冪演算法解決的是整數求冪的問題，而矩陣快速冪解決的是矩陣求冪問題，兩者沒有本質的區別。如果用C++實現，我們只要定義一個矩陣類，然後過載一下乘法運算子，原先的快速冪演算法幾乎不需要改變。
矩陣快速冪常常用於線性遞推式的加速。以下僅舉一例。

快速求斐波那契數列第n項

對於這個問題，普通求法的複雜度是O(n)，現在我們用矩陣快速冪將它優化到O(logn).
首先，將遞推式f(n)=f(n−1)+f(n−2)改寫成矩陣形式

[f(n)f(n−2)f(n−1)f(n−3)]=[f(n−1)f(n−3)f(n−2)f(n−4)][1110]
進而得到
[f(

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