之前在學習三維重建的過程中，瞭解過SIFT演算法，現在老師要求詳細的瞭解SIFT演算法，看看能不能對它進行改進，於是又詳細的看了一遍SIFT演算法。記錄一下。

一、SIFT演算法綜述

SIFT（Scale Invariant Feature Transform）全稱尺度不變特徵變換，是1999年Lowe提出的一種區域性特徵描述運算元，在2004年得到了改善。
SIFT運算元是把影象中檢測到的特徵點用一個128維的特徵向量進行描述，因此一幅影象經過SIFT演算法後表示為一個128維的特徵向量集，該特徵向量集具有對影象縮放，平移，旋轉不變的特徵，對於光照、仿射和投影變換也有一定的不變性，是一種非常優秀的區域性特徵描述演算法。
SIFT演算法的流程分別為：

1. 尺度空間極點檢測
2. 關鍵點精確定位
3. 關鍵點的方向確定
4. 特徵向量的生成

下面將會依次對這幾步進行介紹。

二、尺度空間極點檢測

2.1 尺度空間

特徵點的檢測就需要知道特徵點的位置和尺度，需要位置的原因顯而易見，而需要尺度的原因則是因為真實世界中的物體只有在一定尺度下才有意義。我們尋找的特徵點就是要找到在連續的尺度空間下位置不發生改變的點。
構建尺度空間的目的就是找到在尺度變化中具有不變性的位置，可以使用連續的尺度變化，即在尺度空間中所有可能的尺度變化中找到穩定的特徵點，通過這種方式找到的極點可以保證在影象縮放和旋轉變化中具有不變性。
經過前人證明，尺度空間核心是高斯函式。因此假設I

(x,y)是原始影象，G(x,y,σ)是尺度空間可變的高斯函式，則一個影象的尺度空間可以定義為

L(x,y,σ)=G(x,y,σ)∗I(x,y)(1)
其中，∗表示的是卷積運算，σ表示尺度空間的大小，σ越大則表示越模糊，表示影象的概貌，σ越小則表示越清晰，表示影象的細節。高斯函式G(x,y,σ)定義為G(x,y,σ)=12πσ2e−(x2+y2)/2σ2(2)經過一系列的尺度空間變換和二倍的下采樣，最終得到高斯金字塔。
需要注意的是公式1中的影象I(x,y)具有無限的解析度，也就是說他的尺度σ=0，即I(x,y)=L(x,y,0)。也就是說公式1得到的尺度空間影象L(x,y,σ)是由尺度尺度空間為0的影象L

(x,y,0生成的，但是現實生活中是不存在尺度空間為0，即具有無限解析度的影象的。在Lowe的論文中，他們給定原圖一個很小的尺度空間，為0.5。因此由一個小尺度空間影象L(x,y,σ1)生成一個大的尺度空間影象L(x,y,σ2)的過程為L(x,y,σ2)=G(x,y,σ22−σ21−−−−−−√)∗L(x,y,σ1)(3)其中，G(x,y,σ22−σ21−−−−−−√)=12π(σ22−σ21)e−x2+y22(σ22−σ21)(4)由於實際中尺度為0的影象是無法得到的，因此我們得到的尺度影象的基準影象一定是由公式3得到的，這在SIFT演算法的實現過程中尤為重要，不理解這裡以後SIFT演算法的實現看起來回比較吃力。

2.2 高斯差分

為了在尺度空間中找到穩定不變的極值點，在SIFT演算法中使用了高斯差分(DOG)函式D(x,y,σ)，定義為

D(x,y,σ)=[G(x,y,kσ)−G(x,y,σ)]∗I(x,y)=L(x,y,kσ)−L(x,y,σ)其中kσ和σ是連續的兩個影象的平滑尺度，所得到的差分影象再高斯差分金字塔中。
選擇高斯差分函式的原因如下：
1. 計算簡單，因為L(x,y,σ)是一定需要計算的，而D(x,y,σ)只需要執行減法。
2. 高斯拉普拉斯運算元LoG(Laplacian of Gaussian)，即影象的二階導數，能夠在不同的尺度下檢測到影象的斑點特徵，從而檢測到影象中尺度變化下的位置不動點，但是LoG的運算效率不高。而DoG是LoG的近似。DoG和LoG的關係如下述所示：σ∇2G=∂G∂σ≈G(x,y,

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