假設目標函式是求解f(x,y)=x2+y2$f(x,y)=x^2+y^2$的最小問題。
(1)假設約束條件是h(x,y)=x+y⩽1$h(x,y)=x+y⩽1$，即

⎧⎩⎨⎪⎪minf(x,y)=x2+y2s.th(x,y)=x+y⩽1$$\{\begin{array}{c}minf(x,y)=x^2+y^2\\ s.th(x,y)=x+y⩽1\end{array}$$
這個不等式約束實際上包含了原點，而原點是最小的值，所以這個約束條件等價於沒有約束條件的求解，其求解過程是一樣的

(2)假設約束條件是h(x,y)=x+y⩽−2$h(x,y)=x+y⩽-2$，即
⎧⎩⎨⎪⎪minf(x,y)=x2+y2s.th(x,y)=x+y⩽−2$$\{\begin{array}{c}minf(x,y)=x^2+y^2\\ s.\end{array}$$

th(x,y)=x+y⩽−2
這個情況下，與約束條件是g(x,y)=x+y=−2$g(x,y)=x+y=-2$進行約束的求解過程是一樣的

即求解
⎧⎩⎨⎪⎪▽f+μ▽h=0s.th(x,y)=x+y+2=0$$\{\begin{array}{c}▽f+\mu ▽h=0\\ s.th(x,y)=x+y+2=0\end{array}$$
(3)新增的條件
不等式實際上帶來了新的條件,因為梯度指向了函式增長的方向如圖，所以目標函式的梯度如下圖所示，而約束函式的梯度則是相反的方向(可以理解為對h(x,y)$h(x,y)$而言，對x,y$x,y$的偏導都需要使得x,y$x,y$變大，所以梯度為▽f$▽f$的相反方向)(因為梯度下降法w=w−α▽w$w=w-\alpha ▽w$使得w$w$值變小)

所以，有

▽f+μ▽h=0,μ⩾0$$▽f+\mu ▽h=0,\mu ⩾0$$
其中，μ⩾0$\mu ⩾0$表示▽f,▽h$▽f,▽h$方向相反.
完整的方程組如下:
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪▽f+μ▽h=0h(x,y)=x+y+2=0μ⩾0$$\{\begin{array}{c}▽f+\mu ▽h=0\\ h(x,y)=x+y+2=0\\ \mu ⩾0\end{array}$$
綜合以上，可以把求極值問題：
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪minfs.tgi=0,i=1,2,...,nhi⩽0,i=1,2,...,m$$\{\begin{array}{c}minf\\ s.t{g}_i=0,i=1,2,...,n\\ h_i⩽0,i=1,2,...,m\end{array}$$
通過解下面這個方程組來得到：

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