大數同餘定理

阿新 • • 發佈：2019-02-15

(a+b)%c=(a%c+b%c)%c

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring> 
using namespace std;
char a[1000];
int n,i;
int main()
{
	while (~scanf("%s%d",a,&n))
	{
		int m=0;
		int l=strlen(a);
		for (i=0;i<l;i++)
			m=((m*10)%n+(a[i]-'0'))%n;
		cout<<m<<endl;
	}
	return 0;
}

數學上，當兩個整數除以同一個正整數，若得相同餘數，則二整數同餘。同餘理論常被用於數論中。最先引用同餘的概念與“≡”符號者為德國數學家高斯。

同餘符號

兩個整數 $a$ ， $b$ ，若它們除以正整數 $m$ 所得的餘數相等，則稱 $a$ ， $b$ 對於模 $m$ 同餘

記作 $a \equiv b \pmod{m}$

讀作 $a$ 同餘於 $b$ 模 $m$ ，或讀作 $a$ 與 $b$ 關於模 $m$ 同餘。

比如 $26 \equiv 14 \pmod{12}$ 。

同餘於的符號是同餘相等符號 ≡。統一碼值為 U+2261。但因為方便理由，人們有時會把它(誤)寫為普通等號 (=)。

整除性

$a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow c\cdot m=a-b, c \in \mathbb{Z}$ (即是說 a 和 b 之差是 m 的倍數)
換句話說， $a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow m \mid(a-b)$ ^{[注
1]}

傳遞性

$\left. \begin{matrix}a \equiv b \pmod{m} \\b \equiv c \pmod{m}\end{matrix} \right\} \Rightarrow a \equiv c \pmod{m}$

保持基本運算

$\left. \begin{matrix}a \equiv b \pmod{m} \\c \equiv d\pmod{m}\end{matrix} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a \pm c \equiv b \pm d \pmod{m} \\ ac \equiv bd \pmod{m} \end{matrix} \right.$
這性質更可進一步引申成為這樣：
$a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow \begin{cases} an \equiv bn \pmod{m}, \forall n \in \mathbb{Z} \\ a^n \equiv b^n \pmod{m}, \forall n \in \mathbb{N}^0\end{cases}$

除法原理

$a \equiv b \pmod{cn} \Rightarrow a \equiv b \pmod n$
$\left. \begin{matrix} a \equiv b \pmod{m} \\ n|m \end{matrix} \right\} \Rightarrow a \equiv b \pmod n$ ^{[注
1]}
$\left. \begin{matrix} ac \equiv bc \pmod{m} \\ (c, m) = 1 \end{matrix} \right\} \Rightarrow a \equiv b \pmod m$ ^{[注
2]}

$\left. \begin{matrix} a \equiv b \pmod{m_1} \\ a \equiv b \pmod{m_2} \\ \vdots \\ a \equiv b \pmod{m_n} \\ (n \ge 2) \end{matrix} \right\} \Rightarrow a \equiv b \pmod{[m_1,m_2,\cdots,m_n]}$ ^{[注
3]}

尤拉定理

主條目：尤拉定理

$a^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod{n}$

威爾遜定理

主條目：威爾遜定理

$(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)$

整除多項式

因為 $\binom{t}{k} =\frac{(t)_k}{k!}$ ，而組合數為整數，多項式 $(t)_k$ 整除階乘k!。

$(t)_k \equiv t(t-1)(t-2)\cdots(t-k+1) \equiv 0 (mod k!)$

例子

求自然數a的個位數字，就是求a與哪一個數對於模10同餘。

$10\equiv 1 (\textrm{mod }\ 3), 10^{n}\equiv 1 (\textrm{mod }\ 3), 10001\equiv 10^{4}+1\equiv 1+1 (\textrm{mod }\ 3)$ 。
註釋[編輯]
1. ^ ^1.0 ^1.1 $m \mid x$ 表示 m 能整除 x，或者說 x 能被 m 整除。
2. ^ $(m_1,m_2,\cdots,m_n)$ 表示 $m_1,m_2,\cdots,m_n$ 的最大公約數。
3. ^ $[m_1,m_2,\cdots,m_n]$ 表示 $m_1,m_2,\cdots,m_n$ 的最小公倍數。

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同餘符號

整除性