大意：有中文翻譯

思路：中國剩餘定理的完美詮釋

中國剩餘定理介紹

     在《孫子算經》中有這樣一個問題：“今有物不知其數，三三數之剩二（除以3餘2），五五數之剩三（除以5餘3），七七數之剩二（除以7餘2），問物幾何？”這個問題稱為“孫子問題”，該問題的一般解法國際上稱為“中國剩餘定理”。具體解法分三步：

1. 找出三個數：從3和5的公倍數中找出被7除餘1的最小數15，從3和7的公倍數中找出被5除餘1 的最小數21，最後從5和7的公倍數中找出除3餘1的最小數70。
2. 用15乘以2（2為最終結果除以7的餘數），用21乘以3（3為最終結果除以5的餘數），同理，用70乘以2（2為最終結果除以3的餘數），然後把三個乘積相加（15*2+21*3+70*2）得到和233。
3. 用233除以3，5，7三個數的最小公倍數105，得到餘數23，即233%105=23。這個餘數23就是符合條件的最小數。

     就這麼簡單。我們在感嘆神奇的同時不禁想知道古人是如何想到這個方法的，有什麼基本的數學依據嗎？

中國剩餘定理分析

     我們將“孫子問題”拆分成幾個簡單的小問題，從零開始，試圖揣測古人是如何推匯出這個解法的。

     首先，我們假設n1是滿足除以3餘2的一個數，比如2，5，8等等，也就是滿足3*k+2（k>=0）的一個任意數。同樣，我們假設n2是滿足除以5餘3的一個數，n3是滿足除以7餘2的一個數。

     有了前面的假設，我們先從n1這個角度出發，已知n1滿足除以3餘2，能不能使得 n1+n2 的和仍然滿足除以3餘2？進而使得n1+n2+n3的和仍然滿足除以3餘2？

     這就牽涉到一個最基本數學定理，如果有a%b=c,則有(a+kb)%b=c(k為非零整數)，換句話說，如果一個除法運算的餘數為c，那麼被除數與k倍的除數相加（或相減）的和（差）再與除數相除，餘數不變。這個是很好證明的。

     以此定理為依據，如果n2是3的倍數，n1+n2就依然滿足除以3餘2。同理，如果n3也是3的倍數，那麼n1+n2+n3的和就滿足除以3餘2。這是從n1的角度考慮的，再從n2，n3的角度出發，我們可推匯出以下三點：

1. 為使n1+n2+n3的和滿足除以3餘2，n2和n3必須是3的倍數。
2. 為使n1+n2+n3的和滿足除以5餘3，n1和n3必須是5的倍數。
3. 為使n1+n2+n3的和滿足除以7餘2，n1和n2必須是7的倍數。

    因此，為使n1+n2+n3的和作為“孫子問題”的一個最終解，需滿足：

1. n1除以3餘2，且是5和7的公倍數。
2. n2除以5餘3，且是3和7的公倍數。
3. n3除以7餘2，且是3和5的公倍數。

    所以，孫子問題解法的本質是從5和7的公倍數中找一個除以3餘2的數n1，從3和7的公倍數中找一個除以5餘3的數n2，從3和5的公倍數中找一個除以7餘2的數n3，再將三個數相加得到解。在求n1，n2，n3時又用了一個小技巧，以n1為例，並非從5和7的公倍數中直接找一個除以3餘2的數，而是先找一個除以3餘1的數，再乘以2。

    這裡又有一個數學公式，如果a%b=c，那麼（a*k）%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc（k>0）,也就是說，如果一個除法的餘數為c，那麼被除數的k倍與除數相除的餘數為kc。展開式中已證明。

    最後，我們還要清楚一點，n1+n2+n3只是問題的一個解，並不是最小的解。如何得到最小解？我們只需要從中最大限度的減掉掉3，5，7的公倍數105即可。道理就是前面講過的定理“如果a%b=c,則有(a-kb)%b=c”。所以（n1+n2+n3）%105就是最終的最小解。

總結

經過分析發現，中國剩餘定理的孫子解法並沒有什麼高深的技巧，就是以下兩個基本數學定理的靈活運用：

1. 如果 a%b=c , 則有 (a+kb)%b=c (k為非零整數)。
2. 如果 a%b=c，那麼 (a*k)%b=kc (k為大於零的整數)。

POJ 1006 程式碼：

 1 # include <map>
 2 # include <queue>
 3 # include <stack>
 4 # include <math.h>
 5 # include <stdio.h>
 6 # include <string.h>
 7 # include <iostream>
 8 # include <algorithm>
 9 #define LL long long
10 using namespace std;
11 
12 void run()
13 {
14     int a, b, c, d, cnt = 0;
15     while(~scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d))
16     {
17         cnt++;
18         if(a + b + c + d == -4)
19         break;
20         int Ans = (5544*a+14421*b+1288*c-d+21252)%21252;
21         if(!Ans)
22         Ans = 21252;
23         printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n", cnt, Ans);
24     }
25 }
26 
27 int main(void)
28 {
29     run();
30 
31     return 0;
32 }