BZOJ4321queue2——DP/遞推
阿新 • • 發佈：2019-02-18
pan bsp scanf zoj 排列 name d+ 多少 ++
樣例解釋：有兩種方案 2 4 1 3 和 3 1 4 2 遞推方法比較高深，據說與容斥有關：$f_{i}=(i+1)f_{i-1}-(i-2)f_{i-2}-(i-5)f_{i-3}+(i-3)f_{i-4}$
題目描述
n 個沙茶，被編號 1~n。排完隊之後，每個沙茶希望，自己的相鄰的兩 人只要無一個人的編號和自己的編號相差為 1（+1 或-1）就行； 現在想知道，存在多少方案滿足沙茶們如此不苛刻的條件。輸入
只有一行且為用空格隔開的一個正整數 N，其中 100%的數據滿足 1≤N ≤ 1000;輸出
一個非負整數，表示方案數對 7777777 取模。樣例輸入
4樣例輸出
2樣例解釋：有兩種方案 2 4 1 3 和 3 1 4 2 遞推方法比較高深，據說與容斥有關：$f_{i}=(i+1)f_{i-1}-(i-2)f_{i-2}-(i-5)f_{i-3}+(i-3)f_{i-4}$
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mod 7777777
using namespace std;
int n;
ll f[1010];
int main()
{
scanf("%d",&n);
f[0]=f[1]=1ll;
f[2]=f[3]=0ll;
for(int i=4;i<=n;i++)
{
f[i]=1ll*f[i-1]*(i+1)%mod-1ll*f[i-2]*(i-2)%mod-1ll*f[i-3]*(i-5)%mod+1ll*f[i-4]*(i-3)%mod;
f[i]=(f[i]%mod+mod)%mod;
}
printf("%lld",f[n]);
}
$DP$做法：考慮對於前$i$個數的排列，當加入$i+1$時對排列的影響，設$f[i][j]/g[i][j]$分別表示前$i$個數的排列中有$j$對相差為$1$的數相鄰(後文稱為不合法數對)且$i$兩邊有/沒有與它相差為1的的數。
考慮這兩個方程如何轉移，對於$f[i][j]$，加入$i+1$：
1、與$i$相鄰且增加一對不合法數對，有一種放法，可轉移到$f[i+1][j+1]$
2、與$i$相鄰且不合法數對數不變，有一種放法，可轉移到$f[i+1][j]$
3、與$i$不相鄰且減少一對不合法數對，有$(j-1)$種放法，可轉移到$g[i+1][j-1]$
4、與$i$不相鄰且不合法數對數不變，有$(i-j)$種放法，可轉移到$g[i+1][j]$
對於$g[i][j]$，加入$i+1$：
1、與$i$相鄰且增加一對不合法數對，有兩種放法，可轉移到$f[i+1][j+1]$
2、與$i$不相鄰且減少一對不合法數對，有$j$種放法，可轉移到$g[i+1][j-1]$
3、與$i$不相鄰且不合法數對數不變，有$(i-j-1)$種放法，可轉移到$g[i+1][j]$
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mod 7777777
using namespace std;
int n;
ll f[1010][1010];
ll g[1010][1010];
int main()
{
scanf("%d",&n);
g[1][0]=1;
for(int i=1;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<i;j++)
{
(f[i+1][j+1]+=f[i][j])%=mod;
(f[i+1][j]+=f[i][j])%=mod;
(g[i+1][j-1]+=1ll*(j-1)*f[i][j])%=mod;
(g[i+1][j]+=1ll*(i-j)*f[i][j])%=mod;
(f[i+1][j+1]+=2*g[i][j])%=mod;
(g[i+1][j-1]+=1ll*j*g[i][j])%=mod;
(g[i+1][j]+=1ll*(i-j-1)*g[i][j])%=mod;
}
}
printf("%lld",g[n][0]);
}
BZOJ4321queue2——DP/遞推