圖解leetcode279 —— 完全平方數
每道題附帶動態示意圖,提供java、python兩種語言答案,力求提供leetcode最優解。
描述:
給定正整數 n,找到若干個完全平方數(比如 1, 4, 9, 16, ...
)使得它們的和等於 n。你需要讓組成和的完全平方數的個數最少。
示例 1:
輸入: n = 12
輸出: 3
解釋: 12 = 4 + 4 + 4.
示例 2:
輸入: n = 13
輸出: 2
解釋: 13 = 4 + 9.
思路:
這道題的官方分類是【動態規劃】,所以我們用動態規劃的方法來解,動態規劃最重要的是找到它的狀態轉移方程(即找出狀態間的關係)。
除了狀態轉移方程,我們也可以用狀態轉移表的方法來解題,但是狀態轉移表只能解維度比較低題,比如著名的0-1揹包問題,影響狀態轉移的決策只有兩種,把物品放入揹包、不把物品放入揹包。所以很容易就可以畫出一張二維的狀態轉移表,但是像今天我們要解決的這種問題,假如n=12,那麼影響狀態轉移的決策至少就有三種,取1,取4,取9,人腦很難想像出多維的狀態轉移表,所以這裡我們採用狀態轉移方程的方法來解。
狀態轉移方程推導:
函式f(n)為求組成n的完全平方數的最小個數(就是該題),所以f(12) = 3;f(13) = 2。
我們記做f(n) = m。n可以拆分為 n = d + k*k這種形式。
比如12 = 8 + 2*2,13 = 4 + 3*3,因為無論是12還是13都是完全平方陣列成的,所以一定可以轉換成這種形式。
f(n) = f(d) + f(k*k),因為k*k是一個完全平方數,所以f(k*k) = 1
即f(n) = f(d) + 1,而由 n = d + k*k可得,d = n - k*k,所以上式可化為:
f(n) = f(n-k*k) + 1,(k*k < n)。
這就得出了狀態轉移方程:dp[i] = min(dp[i-j*j]+1, dp[i]),(j*j <= i)
這裡和dp[i]取最小的原因是dp[i-j*j]+1可能不止一個值,取這些值中的最小值。
動圖:
圖中例子為f(5) = 2
5 = 4 + 1
實現:
java:
class Solution { public int numSquares(int n) { int[] dp = new int[n + 1]; for (int i = 1; i < dp.length; i++) { dp[i] = i; for (int j = 1; i - j * j >= 0; j++) { dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j * j]+1); } } return dp[n]; } }
結果:
python3:
class Solution: def numSquares(self, n: int) -> int: dp = [i for i in range(n + 1)] for i in range(1, n + 1): for j in range(1, n + 1): if i - j * j >= 0: dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1) else: break return dp[n]
結果:
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