在這節中，我們將學習有關向量化的內容。無論你是用Ocatve，還是別的語言，比如MATLAB或者你正在用Python、NumPy 或Java、C、C++，所有這些語言都具有內建的，容易閱讀和獲取的各種線性代數庫，它們通常寫得很好，已經經過高度優化，通常是數值計算方面的博士或者專業人士開發的。而當你實現機器學習演算法時，如果你能好好利用這些線性代數庫，或者數值線性代數庫，並聯合調用它們，而不是自己去做那些函式庫可以做的事情。如果是這樣的話，那麼通常你會發現：首先，這樣更有效，也就是說執行速度更快，並且更好地利用你的計算機裡可能有的一些並行硬體系統等等；其次，這也意味著你可以用更少的程式碼來實現你需要的功能。因此，實現的方式更簡單，出錯的可能性也就越小。舉個具體的例子：與其自己寫程式碼做矩陣乘法。如果你只在Octave中輸入a乘以b，它會利用一個非常有效的做法，計算兩個矩陣相乘。有很多例子可以說明，如果你用合適的向量化方法來實現，你的程式碼就會簡單得多，也有效得多。

    讓我們來看一些例子：這是一個常見的線性迴歸假設函式：h_θ(x) = Σθ_jx_j。如果你想要計算h_θ(x)，注意到右邊是求和，那麼你可以自己計算 j=0 到 j=n 的和。但換另一種方式來想想，把h_θ(x)看作θ^TX，那麼你就可以寫成兩個向量的內積，其中θ就是θ₀，θ₁，θ₂。如果你有兩個特徵量，如果n=2，並且如果你把x看作x₀、x₁、x₂，這兩種思考角度，會給你兩種不同的實現方式。

    下面是未向量化的程式碼。未向量化的意思是沒有向量化。

    首先，我們初始化變數prediction的值為0.0，而這個變數prediction的最終結果就是h_θ

    作為比較，接下來是向量化的程式碼實現：

    你把x和θ看作向量，而你只需要令變數prediction等於θ^TX，你就可以這樣計算。與其寫所有這些for迴圈的程式碼，你只需要一行程式碼，這行程式碼就是利用Octave 的高度優化的數值線性代數演算法來計算x和θ這兩個向量的內積，這樣會使程式碼更簡單，執行起來也將更加高效。這就是Octave 所做的而向量化的方法，在其他程式語言中同樣可以實現。

    讓我們來看一個C++ 的例子：

    這是未向量化的程式碼。同樣地，也是先初始化一個變數，然後再利用for迴圈。

    下面是向量化的程式碼實現：

    與此相反，使用較好的C++數值線性代數庫，你可以寫出像這樣的程式碼，因此取決於你的數值線性代數庫的內容。你或許有個C++物件：向量θ和一個C++物件：向量x。你只需要在C++中將兩個向量相乘。根據你所使用的數值和線性代數庫的使用細節的不同，你最終使用的程式碼表達方式可能會有些許不同，但是通過一個庫來計算內積，你可以得到一段更簡單、更有效的程式碼。
    現在，讓我們來看一個更為複雜的例子，這是線性迴歸演算法梯度下降的更新規則：     我只是用θ₀，θ₁，θ₂來寫方程，假設我們有兩個特徵量，所以n=2，這些都是我們需要對θ₀，θ₁，θ₂來進行更新，這些都應該是同步更新。    

    實現這三個方程的方法就是使用一個for迴圈，讓 j 等於0、1、2來更新物件θ_j。

    但讓我們用向量化的方式來實現，看看我們是否能夠有一個更簡單的方法，看看能不能一次實現這三個方程。讓我們來看看怎樣能壓縮成一行向量化的程式碼來實現。思路如下：我打算把θ看做一個向量，然後我用θ-α 乘以某個別的向量δ 來更新θ。這裡的δ等於(1/m)Σ(h_θ(xⁱ)-yⁱ)xⁱ。

    讓我解釋一下是怎麼回事：我要把θ看做一個n+1維向量，α是一個實數，δ是一個向量。

    所以這個減法運算是一個向量減法，因為αδ是一個向量，所以θ更新為θ-αδ。那麼向量δ是什麼呢？

    其實δ代表的就是紅框框起來的內容。具體地說，δ是一個n+1維向量。向量δ的第一個元素就等於綠框框起來的內容。

    認真看一下計算δ的正確方式。

    前面是一個實數，後面是一個n+1維向量。然後再求和。

    實際上，如果你要解下面這個方程，我們為了向量化這段程式碼，我們會令u = 2v +5w因此，我們說向量u等於2乘以向量v加上5乘以向量w。

    用這個例子說明，如何對不同的向量進行相加，這裡的求和是同樣的道理。在這個求和公式中，只是一個實數乘以一個向量x¹，就像上面的2乘以向量v。然後再加上實數乘以一個向量x²，就像上面的5乘以向量w。以此類推，再加上許多項實數乘以向量。這就是為什麼這一整個是一個向量δ的原因。具體而言，如果n=2，那麼δ就由三項相加而組成。這就是為什麼根據θ-αδ更新θ的時候可以實現同步更新。

    這就是為什麼我們能夠向量化地實現線性迴歸。所以，保證你確實能理解上面的步驟。如果你實在不能理解它們數學上等價的原因，你就直接實現這個演算法，也是能得到正確答案的，你仍然能實現線性迴歸演算法。如果你能弄清楚為什麼這兩個步驟是等價的，那我希望你可以對向量化有一個更好的理解。   

    如果你在實現線性迴歸的時候，使用一個或兩個以上的特徵量。有時我們使用幾十或幾百個特徵量來計算線性迴歸，當你使用向量化地實現線性迴歸時，通常執行速度就會比你以前用你的for迴圈快的多。因此使用向量化實現方式，你應該是能夠得到一個高效得多的線性迴歸演算法。而當你向量化我們將在之後的課程裡面學到的演算法，這會是一個很好的技巧，無論是對於Octave 或者一些其他的語言，如C++、Java 來讓你的程式碼執行得更高效。

最後附上有中文字幕視訊的連結：https://www.bilibili.com/video/BV164411b7dx/?p=31

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