3D數學基礎

座標系
模型座標系：模型自身的座標系
世界座標系：物體在空間中的座標
攝像機座標系：物體在攝像機位置和方向下的座標
螢幕投影座標系：物體在二維螢幕投影下的座標
向量
二維向量舉例

• 向量相加 ( x 1 , y 1 ) + ( x 2 , y 2 ) = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) (x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2) (x1​,y1​)+(x2​,y2​)=(x1​+x2​,y1​+y2​) 向量頭尾相連
• 向量相減 ( x 1 , y 1 ) − ( x 2 , y 2 ) = ( x 1 − x 2 , y 1 − y 2 ) (x_1,y_1)-(x_2,y_2)=(x_1-x_2,y_1-y_2)
  (x1​,y1​)−(x2​,y2​)=(x1​−x2​,y1​−y2​) 減數向量尾指向被減數向量尾
• 向量乘標量（數乘） a ∗ ( x 1 , y 1 ) = ( a ∗ x 1 , a ∗ y 1 ) a*(x_1,y_1)=(a*x_1,a*y_1) a∗(x1​,y1​)=(a∗x1​,a∗y1​)
• 向量點積（數量積） ( x 1 , y 1 ) ⋅ ( x 2 , y 2 ) = x 1 ∗ x 2 + y 1 ∗ y 2 (x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=x1*x2+y1*y2 (x1​,y1​)⋅(x2​,y2​)=x1∗x2+y1∗y2
  • 數形結合 a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ∣ ∗ ∣ b ∣ ∗ c o s θ \vec{a}\cdot\vec{b}=|a|*|b|*cos\theta
    a ⋅b =∣a∣∗∣b∣∗cosθ
  • 幾何意義： 點積的正負或零<=>角度小於、大於或等於90°
  • 推論 當 a ⃗ \vec{a} a 和 b ⃗ \vec{b} b 都是單位化向量時， θ = a c o s ( a ⃗ ⋅ b ⃗ ) \theta=acos(\vec{a}\cdot\vec{b}) θ=acos(a ⋅b )
• 向量叉積 a ⃗ × b ⃗ = [ i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ] = ( y 1 z 2 − y 2 z 1 ) i − ( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) j + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) k \vec{a}\times\vec{b}=\left[\begin{matrix} i & j & k \\x_1 & y_1 & z_1 \\x_2 & y_2 & z_2 \end{matrix}\right]=(y_1z_2-y_2z_1)i-(x_1z_2-x_2z_1)j+(x_1y_2-x_2y_1)k
  a ×b =⎣⎡​ix1​x2​​jy1​y2​​kz1​z2​​⎦⎤​=(y1​z2​−y2​z1​)i−(x1​z2​−x2​z1​)j+(x1​y2​−x2​y1​)k
  • 其中ijk為3個方向向量，當其都是標準化向量時 a ⃗ × b ⃗ = ( y 1 z 2 − y 2 z 1 , z 1 x 2 − z 2 x 1 , x 1 y 2 − x 2 y 1 ) = n ⃗ \vec{a}\times\vec{b}=(y_1z_2-y_2z_1,z_1x_2-z_2x_1,x_1y_2-x_2y_1)=\vec{n} a ×b =(y1​z2​−y2​z1​,z1​x2​−z2​x1​,x1​y2​−x2​y1​)=n
  • 幾何意義： n ⃗ \vec{n} n 垂直於 a ⃗ \vec{a} a 和 b ⃗ \vec{b} b 所構成的平面，即成為該平面的法向量
  • 注意：法向量滿足左手螺旋法則，即將 a ⃗ \vec{a} a 旋轉到 b ⃗ \vec{b} b 看做螺旋， n ⃗ \vec{n} n 為大拇指朝向，因此Unity中叉乘應該為順時針計算

矩陣

[ m 11 m 12 m 13 m 21 m 22 m 23 m 31 m 32 m 33 ] \left[\begin{matrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\m_{21} & m_{22} & m_{23} \\m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{matrix}\right] ⎣⎡​m11​m21​m31​​m12​m22​m32​​m13​m23​m33​​⎦⎤​

• 矩陣和標量乘法 λ A = [ λ m 11 λ m 12 λ m 13 λ m 21 λ m 22 λ m 23 λ m 31 λ m 32 λ m 33 ] \lambda A=\left[\begin{matrix} \lambda m_{11} & \lambda m_{12} & \lambda m_{13} \\\lambda m_{21} & \lambda m_{22} & \lambda m_{23} \\\lambda m_{31} & \lambda m_{32} & \lambda m_{33} \end{matrix}\right] λA=⎣⎡​λm11​λm21​λm31​​λm12​λm22​λm32​​λm13​λm23​λm33​​⎦⎤​

• 矩陣乘法

  • a對於一個mxn的矩陣 A ( a m n ) A(a_{mn}) A(amn​)和nxp的矩陣 B ( b n p ) B(b_{np}) B(bnp​)，相乘後得到mxp的矩陣 C ( c m p ) C(c_{mp}) C(cmp​)
  • c i j = ∑ r = 1 n a i r b r j ( m ≥ i > 0 , p ≥ j > 0 ) c_{ij}=\displaystyle \sum^n_{r=1}{a_{ir}b_{rj}(m\geq i>0,p\geq j>0)} cij​=r=1∑n​air​brj​(m≥i>0,p≥j>0)
  • 不滿足交換律，滿足結合律和分配律

• 矩陣轉置 A T = [ m 11 m 21 m 31 m 12 m 22 m 32 m 13 m 23 m 33 ] A^T=\left[\begin{matrix} m_{11} & m_{21} & m_{31} \\m_{12} & m_{22} & m_{32} \\m_{13} & m_{23} & m_{33} \end{matrix}\right] AT=⎣⎡​m11​m12​m13​​m21​m22​m23​​m31​m32​m33​​⎦⎤​

  • 性質1： ( A T ) T = A (A^T)^T=A (AT)T=A
  • 性質2： ( λ A ) T = λ A T (\lambda A)^T=\lambda A^T (λA)T=λAT
  • 性質3： ( A B ) T = B T A T (AB)^T=B^TA^T (AB)T=BTAT

• 方陣就是行數和列數相等的矩陣

  • 方陣計算方法1：對角線和反對角線法
    ∣ A 3 ∣ = ∣ m 11 m 12 m 13 m 21 m 22 m 23 m 31 m 32 m 33 ∣ = m 11 m 22 m 33 + m 12 m 23 m 31 + m 13 m 21 m 32 − m 13 m 22 m 31 − m 12 m 21 m 33 − m 11 m 23 m 32 |A_3|=\left|\begin{matrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\m_{21} & m_{22} & m_{23} \\m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{matrix}\right|=m_{11}m_{22}m_{33}+m_{12}m_{23}m_{31}+m_{13}m_{21}m_{32}-m_{13}m_{22}m_{31}-m_{12}m_{21}m_{33}-m_{11}m_{23}m_{32} ∣A3​∣=∣∣∣∣∣∣​m11​m21​m31​​m12​m22​m32​​m13​m23​m33​​∣∣∣∣∣∣​=m11​m22​m33​+m12​m23​m31​+m13​m21​m32​−m13​m22​m31​−m12​m21​m33​−m11​m23​m32​
  • 方陣計算方法2：代數餘子式
    餘子式： M 12 = [ m 21 m 23 m 31 m 33 ] M_{12}=\left[\begin{matrix} m_{21} & m_{23}\\m_{31} & m_{33} \end{matrix}\right] M12​=[m21​m31​​m23​m33​​]
    即Mij為刪除第i行第j列元素後剩下元素組成的，階數-1的方陣
    代數餘子式 c 12 = ( − 1 ) 1 + 2 ∣ M 12 ∣ c_{12}=(-1)^{1+2}|M_{12}| c12​=(−1)1+2∣M12​∣（注意正負）
    ∣ A m ∣ = ∑ j = 1 m m i j c i j ( i ∈ [ 1 , m ] ) = ∑ i = 1 m m i j c i j ( j ∈ [ 1 , m ] ) |A_{m}|=\displaystyle \sum_{j=1}^m{m_{ij}c_{ij}(i\in[1,m])}=\displaystyle \sum_{i=1}^m{m_{ij}c_{ij}(j\in[1,m])} ∣Am​∣=j=1∑m​mij​cij​(i∈[1,m])=i=1∑m​mij​cij​(j∈[1,m])
    簡而胭脂就是任取某一行/列，計算該行/列上的代數餘子式之和
  • 性質1 ∣ M 1 M 2 ∣ = ∣ M 1 ∣ ∣ M 2 ∣ |M_1M_2|=|M_1||M_2| ∣M1​M2​∣=∣M1​∣∣M2​∣
  • 性質2： ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^T|=|A| ∣AT∣=∣A∣
  • 性質3：任意行或列為0，則行列式為0
  • 性質4：交換兩行或兩列，行列式取反
  • 性質5：任意行/列加上 其他任意行/列的任意倍，行列式不變

• 矩陣的逆
  A ( A − 1 ) = A − 1 A = I A(A^{-1})=A^{-1}A=I A(A−1)=A−1A=I

  • 逆矩陣的前提：為方陣、矩陣行列式不為0
  • 計算代數餘子式矩陣：
    M = [ c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33 ] M=\left[\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\c_{21} & c_{22} & c_{23} \\c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{matrix}\right] M=⎣⎡​c11​c21​c31​​c12​c22​c32​​c13​c23​c33​​⎦⎤​
  • 計算標準伴隨矩陣：
    a d j M = M T adjM=M^{T} adjM=MT
  • 計算逆矩陣
    M − 1 = a d j M ∣ M ∣ M^{-1}=\frac{adjM}{|M|} M−1=∣M∣adjM​
  • 性質1 ( M − 1 ) − 1 = M (M^{-1})^{-1}=M (M−1)−1=M
  • 性質2 I − 1 = I I^{-1}=I I−1=I
  • 性質3 ( M − 1 ) T = ( M T ) − 1 (M^{-1})^T=(M^{T})^{-1} (M−1)T=(MT)−1
  • 性質4 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1
  • 正交矩陣： M − 1 < = > M T M^{ -1}<=>M^T M−1<=>MT
    • 僅包含一個方向的旋轉的矩陣是正交矩陣

應用

2D旋轉
點 A = [ x y ] A=\left[\begin{matrix} x & y \end{matrix}\right] A=[x​y​]
順時針旋轉角為α
A ′ = [ x y ] ∗ [ c o s α s i n α − s i n α c o s α ] A'=\left[\begin{matrix} x & y \end{matrix}\right]*\left[\begin{matrix} cos\alpha& sin\alpha \\-sin\alpha &cos\alpha \end{matrix}\right] A′=[x​y​]∗[cosα−sinα​sinαcosα​]
3D旋轉
x軸旋轉(x,y,z)
[ 1 0 0 0 c o s α s i n α 0 − s i n α c o s α ] \left[\begin{matrix} 1&0&0\\0&cos\alpha& sin\alpha \\0&-sin\alpha &cos\alpha \end{matrix}\right] ⎣⎡​100​0cosα−sinα​0sinαcosα​⎦⎤​
y、z軸旋轉同理可知

2D平移（3X3矩陣）
點 A = [ x y ] A=\left[\begin{matrix} x & y \end{matrix}\right] A=[x​y​]
平移距離（dx,dy,0)
A ′ = [ x y 1 ] ∗ [ 1 0 0 0 1 0 d x d y 1 ] = [ x + d x y + d y 1 ] A'=\left[\begin{matrix} x & y &1\end{matrix}\right]*\left[\begin{matrix} 1&0&0 \\0&1&0\\dx&dy&1 \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} x+dx &y+dy &1 \end{matrix}\right] A′=[x​y​1​]∗⎣⎡​10dx​01dy​001​⎦⎤​=[x+dx​y+dy​1​]
3D平移（4X4矩陣）
A ′ = [ x y z 1 ] ∗ [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 d x d y d z 1 ] = [ x + d x y + d y z + d z 1 ] A'=\left[\begin{matrix} x & y &z&1\end{matrix}\right]*\left[\begin{matrix} 1&0&0&0 \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\dx&dy&dz&1 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} x+dx &y+dy &z+dz&1 \end{matrix}\right] A′=[x​y​z​1​]∗⎣⎢⎢⎡​100dx​010dy​001dz​0001​⎦⎥⎥⎤​=[x+dx​y+dy​z+dz​1​]

y軸旋轉+3D平移
[ c o s α 0 s i n α 0 0 1 0 0 − s i n α 0 c o s α 0 0 0 0 1 ] ∗ [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 d x d y d z 1 ] = [ c o s α 0 s i n α 0 0 1 0 0 − s i n α 0 c o s α 0 d x d y d z 1 ] \left[\begin{matrix} cos\alpha&0&sin\alpha&0 \\0&1&0&0\\-sin\alpha&0&cos\alpha&0\\0&0&0&1 \end{matrix}\right] *\left[\begin{matrix} 1&0&0&0 \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\dx&dy&dz&1 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} cos\alpha&0&sin\alpha&0 \\0&1&0&0\\-sin\alpha&0&cos\alpha&0\\dx&dy&dz&1 \end{matrix}\right] ⎣⎢⎢⎡​cosα0−sinα0​0100​sinα0cosα0​0001​⎦⎥⎥⎤​∗⎣⎢⎢⎡​100dx​010dy​001dz​0001​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​cosα0−sinαdx​010dy​sinα0cosαdz​0001​⎦⎥⎥⎤​
(3D平移的左上角3X3可以看做是一個單位矩陣，任何矩陣乘單位矩陣等於原矩陣，旋轉的矩陣複製過來即可）

縮放矩陣
[ s c a l e x 0 0 0 0 s c a l e y 0 0 0 0 s c a l e z 0 0 0 0 1 ] \left[\begin{matrix} scale_x&0&0&0 \\0&scale_y&0&0\\0&0&scale_z&0\\0&0&0&1 \end{matrix}\right] ⎣⎢⎢⎡​scalex​000​0scaley​00​00scalez​0​0001​⎦⎥⎥⎤​

透視投影
Py為原位置，忽略掉P’y的正負性，可以得相似三角形的計算，轉為矩陣計算

A ′ = [ x y z 1 ] ∗ [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 d 0 0 0 0 ] = [ x y z z d ] A'=\left[\begin{matrix} x & y &z&1\end{matrix}\right]*\left[\begin{matrix} 1&0&0&0 \\0&1&0&0\\0&0&1&\frac{1}{d}\\0&0&0&0 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} x &y &z&\frac{z}{d} \end{matrix}\right] A′=[x​y​z​1​]∗⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0010​00d1​0​⎦⎥⎥⎤​=[x​y​z​dz​​]
雖然這裡是四元向量，但在攝像機上只能顯示兩個(x,y)，所以需要根據z和d來設定距離資訊（x,y)*d/z