技術標籤：LeetCodeleetcode動態規劃演算法python買賣股票的最佳時機含手續費

714. 買賣股票的最佳時機含手續費

題目來源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee/

題目

給定一個整數陣列 prices，其中第 i 個元素代表了第 i 天的股票價格 ；非負整數 fee 代表了交易股票的手續費用。

你可以無限次地完成交易，但是你每筆交易都需要付手續費。如果你已經購買了一個股票，在賣出它之前你就不能再繼續購買股票了。

返回獲得利潤的最大值。

**注意：**這裡的一筆交易指買入持有並賣出股票的整個過程，每筆交易你只需要為支付一次手續費。

示例 1:

輸入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
輸出: 8
解釋: 能夠達到的最大利潤:  
在此處買入 prices[0] = 1
在此處賣出 prices[3] = 8
在此處買入 prices[4] = 4
在此處賣出 prices[5] = 9
總利潤: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.

注意:

• 0 < prices.length <= 50000.
• 0 < prices[i] < 50000.
• 0 <= fee < 50000
  .

解題思路

思路：動態規劃

這道題中，在相似題目也可以看到。該題跟 【122. 買賣股票的最佳時機 II（動態規劃、貪心）】 相似，但是這道題中多出了限制條件，也就是【交易含手續費】。

回到本題，題目中給定的整數陣列 p r i c e s prices prices，其中第 i i i 個元素表示給定股票第 i i i 天的價格。其中非負整數 f e e fee fee 表示交易股票的手續費，要求獲得最大的利潤。

進行交易時，可以多次交易，但每次交易都需要手續費。若交易的過程中持有股票時，不能夠再次購買，必須先賣出，也就是不能同時參與多筆交易。這裡注意，手續費在一筆交易的整個過程中，只需要 支付一次

動態規劃

因為【無法同時參與多筆交易】，那麼當天交易持有股票的狀態，要麼是 0 0 0 只，要麼是 1 1 1 只。這裡我們用動態規劃的方法來解決。

狀態定義

設 d p [ i ] [ 0 ] dp[i][0] dp[i][0] 表示第 i i i 天交易完成後手中不持有股票時的最大利潤；

設 d p [ i ] [ 1 ] dp[i][1] dp[i][1] 表示第 i i i 天交易完成後持有一隻股票時的最大利潤。

狀態轉移

d p [ i ] [ 0 ] dp[i][0] dp[i][0] 表示第 i i i 天交易完成後手中不持有股票時的最大利潤，這裡可能的情況如下：

• 第 i − 1 i-1 i−1 天不持有股票，第 i i i 天無交易發生；
• 第 i − 1 i-1 i−1 天持有股票，第 i i i 天將其交易賣出，獲取利潤。

那麼此時的轉移方程如下（注意交易含有手續費）：
d p [ i ] [ 0 ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ 0 ] , d p [ i − 1 ] [ 1 ] + p r i c e s [ i ] − f e e ) dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i] - fee) dp[i][0]=max(dp[i−1][0],dp[i−1][1]+prices[i]−fee)
同樣， d p [ i ] [ 1 ] dp[i][1] dp[i][1] 表示第 i i i 天交易完成後持有一隻股票時的最大利潤，可能情況如下：

• 第 i − 1 i-1 i−1 天持有股票，第 i i i 天無交易發生；
• 第 i − 1 i-1 i−1 天不持有股票，第 i i i 天交易買入股票。

此時的轉移方程如下：
d p [ i ] [ 1 ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ 1 ] , d p [ i − 1 ] [ 0 ] − p r i c e s [ i ] ) dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]) dp[i][1]=max(dp[i−1][1],dp[i−1][0]−prices[i])

狀態初始化

第一天交易，可選擇不交易或者買入股票，那麼此時的對應的狀態值：

• d p [ 0 ] [ 0 ] = 0 dp[0][0] = 0 dp[0][0]=0；
• d p [ 0 ] [ 1 ] = − p r i c e s [ 0 ] dp[0][1]=-prices[0] dp[0][1]=−prices[0]。

s i z e size size 表示陣列的長度。

現在從第一天開始計算，這裡最終返回的最大利潤應該是 d p [ s i z e − 1 ] [ 0 ] dp[size-1][0] dp[size−1][0]。

因為交易購買股票時，需要先墊付金額。那麼 d p [ s i z e − 1 ] [ 1 ] dp[size-1][1] dp[size−1][1] 對應的值一定要小於 d p [ s i z e − 1 ] [ 0 ] dp[size-1][0] dp[size−1][0] 的。所以最終應該求 d p [ s i z e − 1 ] [ 0 ] dp[size-1][0] dp[size−1][0]。

具體的程式碼實現如下。

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int], fee: int) -> int:
        size = len(prices)

        # 定義陣列
        dp = [[0, 0] for _ in range(size)]

        # 狀態初始化
        dp[0][0] = 0
        dp[0][1] = -prices[0]

        # 開始計算
        for i in range(1, size):
            # 狀態轉移
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]+prices[i]-fee)
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i])

        return dp[size-1][0]

動態規劃（空間優化）

上面的方法中，我們可以看到，當天的狀態值只與前一天的狀態值相關。從這裡進行優化，進行降維。程式碼實現如下。

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int], fee: int) -> int:
        size = len(prices)

        dp = [0, -prices[0]]

        for i in range(1, size):
            # 其中 dp[1] 需要用到前一天 dp[0] 的值，但 dp[0] 會先變化，這裡 tmp 先進行暫存
            tmp = dp[0]
            dp[0] = max(dp[0], dp[1]+prices[i]-fee)
            dp[1] = max(dp[1], tmp-prices[i])
        
        return dp[0]

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