前言

本來在學高斯消元但是看到這篇部落格連結一發不可收拾的先學概率期望主要是三門問題有點意思

本文很多內容直接來源上部落格

注意概率問題一般順推，期望問題一般逆推

習題1

題意

每張彩票上有一個漂亮圖案，圖案一共n種，如果你集齊了這n種圖案就可以召喚神龍兌換大獎。

現在請問，在理想（平均）情況下，你買多少張彩票才能獲得大獎的？\(n\leq33\)

思路

這是一個很經典的題目，我用一種簡單的方式來說

先說結論答案是調和級數 \((\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}+...+\frac{1}{1})\times n\)

假設現在有k種了，那麼多獲得一種的概率為\(\frac{n-k}{n}\)

那麼綜上答案即為\((\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}+...+\frac{1}{1})\times n\)

由於這題的輸出比較毒瘤，我就不寫了把。。。

習題2

題意

一個01串中每個長度為\(x\)的全1子串可貢獻\(x^3\)的分數。給出n次操作的成功率\(p[i]\)，求期望分數。

思路

\((x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1\)

每多增加一個1，答案增加了\(3x^2+3x+1\)

然後維護\(x\)和\(x^2\)的期望 這個題目值得記錄下

習題3

題意

n個數1~n，第k次取數需要k元，每次取數對於所有數概率均等\(\frac{1}{n}\)

思路

這種問題感覺一般都沒必要列太多式子，想太麻煩，直接往概率方面想即可

對於總共n張郵票 手裡有i張郵票，下一次買到新郵票的概率為\(\frac{n-i}{n}\), 買的次數期望即為其倒數\(\frac{n-i}{i}\)。

然後我們把價格給他考慮進去，可以發現對於第i張郵票，為了獲得它的平均價格是購買前i張郵票的期望次數之

和把每一次的價格和次數的期望乘一下累計到答案裡面就行了

習題4

題意

現在帕琪有 7 種屬性的能量晶體，第 i 種晶體可以施放出屬性為 i的魔法，共有 \(a_i\)個。每次施放魔法時，會等概率隨機消耗一個現有的能量晶體，然後釋放一個對應屬性的魔法。連續施放的 7 個魔法中，如果魔法的屬性各不相同，就能觸發一次帕琪七重奏。求琪七重奏的期望次數是多少

思路

為啥都感覺好玄學

設\(n=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7\)

前7個湊成第一個的七重奏的期望很簡單就是

\(\Large 7!\times \frac{a_1}{n} \times \frac{a_2}{n-1} \times \frac{a_3}{n-2}\times \frac{a_4}{n-3}\times \frac{a_5}{n-4}\times \frac{a_6}{n-5}\times \frac{a_7}{n-6}\)

而總共有\(n-6\)種情況可以構成，然後上述式子乘以\(n-6\)即可

注意\(n\)小於7直接特判為0

題目5

題意

題意實在太長了，自己看吧

思路

乍一看條件多的一批。

其實很簡單設\(dp[i][j][0/1]\)表示前\(i\)個階段使用\(j\)次交換，且第\(i\)次是否交換

知道方程轉移就簡單很多了，由於點很少，最短路直接floyd即可