概率期望
概率期望
這是一個挺大的東西，又涉及到dp，又涉及到數學，就不知道咋分類
同時，這也是我最菜的幾部分之一
符號 & 定義 & 基礎知識
符號&定義
概率
\(P(A)\) 表示事件 \(A\) 發生的概率。
- 對於離散的情況，假設一共有 \(n\) 種情況均勻隨機，其中 \(m\) 種使得事件 \(A\) 成立，那麼 \(P(A)=\dfrac{m}{n}\)
因此，“概率”在很多情況下可以看作“計數”
當然，直接考慮概率也有好處，它相當於約掉了很多東西，讓問題處理起來更加方便
- 對於連續情況：可以使用面積/體積的比來計算概率
\(P(A|B)\) 表示條件概率，即，我們假設 \(B\)
期望
對於隨機變數 \(x\)，\(E(x)\) 表示 \(x\) 的期望。
-
對於離散的情況，它的值就是每一種可能值乘以它對應的概率
如，扔一個標準的骰子，朝上的點數的期望是 \(1\times\dfrac{1}{6}+2\times\dfrac{1}{6}...+6\times\dfrac{1}{6}=3.5\)
-
對於連續的情況，我們可以使用積分等手段計算期望，這裡略
基礎知識
注意：以下式子全都可以反過來用，做題的時候思維要靈活一些
概率
當 \(A,B\) 獨立（即二者互不影響）時：
- \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\)
- \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)
設 \(\overline{A}\) 表示 “\(A\) 不發生”，則 \(P(\overline{A})=1-P(A)\)
這個式子結合上面兩個式子，可以使用容斥原理計算概率
\(P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\) （條件概率）
若 \(A_1,A_2...A_n\) 恰好能覆蓋所有情況（即，完備），對於事件 \(B\)，\(P(B)=\sum\limits_{i=1}^{n} P(B|A_i)\)
這個相當於是一個分類討論，先按 \(A\) 分類，看 \(B\) 在這個條件下多少概率出現
就好比我家裡有短裙和短袖，每種紅綠藍三種顏色的各一件，即，一共 \(6\)
件衣服那我穿紅色衣服的概率就是，穿紅色短袖的概率+穿紅色短裙的概率
期望
當 \(x,y\) 獨立時，\(E(x+y)=E(x)+E(y)\) （期望的線性性）
這個式子有一個等價的表達，\(E(ax+by)=aE(x)+bE(y)\)，其中 \(a,b\) 是任意標量
當 \(x\) 是正整數時，\(E(x)=\sum\limits_{i} P(x\ge i)\)
證明就考慮一下一個 \(P(i)\) 被算多少次就行了，算一算髮現這個次數正好是 \(1,2,3...n\)
而對於正整數的情況，期望正好是 \(\sum\limits_{i} i\times P(i)\)，\(P(i)\) 應該被算 \(1,2,3...n\) 次，正好一樣，就對了
例題&思維方法 I
這是第一部分，暫且比較簡單
（因為這塊參考的課件是比較早的課件，好像是noip的集訓）
poj2151 簡單題
有兩個限制：每個隊都得做至少一個題（設為條件A），並且至少存在一個隊做出來 \(k\) 個題 （設為條件B）
我們要求 \(A\cap B\) 的概率。眾所周知，\(P(A\cap B)=P(A)-P(A\cap\overline{B})\)
為什麼這麼考慮呢，因為，正難則反嘛。
先看 \(P(A)\) 怎麼做。簡單想一下，也得考慮反面做。對於每個隊，考慮拿 \(1\) 減去爆零的概率，就是這一個隊至少A掉一個題的概率。然後由乘法原理，隊之間的概率乘起來，就是同時滿足的方案。
接下來看 \(P(A\cap \overline{B})\)。考慮 \(\overline{B}\) ：每個隊A掉的題數都 \(\le k-1\)。由於還需要滿足條件 \(A\)，所以相當於每個隊A掉的題都在 \([1,k-1]\) 裡面。
考慮這個咋做。此時熟練的選手腦子裡已經有一個GF了。先列舉隊，設 \(f(i)\) 表示這個隊AC了 \(i\) 個題的方案數。那肯定是，在概率數組裡選 \(i\) 個“AC的概率”乘起來，然後選 \(m-i\) 個 “不AC的概率” 乘起來。我們發現這很GF，直接GF
設當前這個隊AC第 \(i\) 個題的概率是 \(p_i\)。那很明顯 \(f\) 的OGF，設為 \(F\)，就是
\[\prod\limits_{i=1}^{m} (1-p_i)+p_ix \]最後得到當前這個隊的答案就是 \(F[x^1...x^{k-1}]\)。每個隊的答案乘起來就行了。
樸素的實現是 \(O(nm^2)\) 的。使用分治FFT可以做到 \(O(nm\log m)\)，這裡略（畢竟是10級演算法）
這題非常水，但是可以幫助理解概率的“考慮反面”思想，還有條件之間取交，取並的概率的計算。這些是很重要的基礎知識，做完這個題之後也可以想一想。
CF601C Kleofáš and the n-thlon
（神祕名字，誰教教我咋唸啊）
題目中，\(k\) 這個人在 \(i\) 比賽裡面的排名被設為 \(x_i\)。但由於後面要用 \(x\) ，這裡取名叫 \(p_i\)。
設 \(s_i\) 表示第 \(i\) 個人的總得分
我們要求 \(k\) 這個人的排名（定義為小於它的數量+1）的期望。
根據上面期望相關的式子，先轉化一波。要求：
\[E(\sum\limits_{i\neq k} [s_i<s_k])\\ \]注意到對於某人的某次比賽，排第幾名都是等概率的。又注意到除了 \(k\) 這個人之外的人，沒有本質區別，都可以看做是同一個人，或者說，把兩個人換一下完全不影響。感性理解叫 “都是外人”
根據線性性把這個式子拆開，然後根據人之間的等價性，每一項都是一樣的。於是變為：
\[(m-1)\times E(s_i<s_k),i\neq k \]\(i\) 任意。我們後面就稱它為“外人”，即，一個不是 \(k\) 的人。
對於 \(i\) 這個人，在第 \(j\) 場比賽裡面，排 \(r\) 位的概率都是 \(\dfrac{1}{m-1}\)，但是 \(r\) 不能是 \(p_j\)。
那它在這一場比賽裡，所有可能性構成的OGF就是 \(\sum\limits_{i=1}^{m}[i\neq r]\dfrac{1}{m-1} x^i\)
我們把每一場比賽的這個 OGF 卷一下，\(i\) 次方項就是它總得分為 \(i\) 的方案數。取它的 \([1,s_k)\) 次項和即可。
但是就算拿FFT卷，樸素的複雜度也是 \(O(n^2m\log(nm))\)，不太能過。拿分治FFT寫似乎理論複雜度對了，毛估估應該是 \(O(nm\log (nm))\) 的。但是我覺得它應該會很難寫，也不應該是標程。這題的這個範圍似乎在提示我們，複雜度應該是 \(O(n^2m)\)
考慮這一堆GF，它們只有一個空缺，和全 \(1\) 的多項式非常像。
考慮差分。由於它是兩段 \(1\) 組成，所以它的差分應該最多 \(4\) 個位置有值。而多項式這個係數取差分，其實就是捲上一個 \(1-x\)，性質非常好：滿足交換律和結合律。也就是說，我們可以先取一堆差分，然後再卷，然後再字首和做回來，做的順序不影響。
那這樣只有 \(4\) 個位置有值，就算是暴力的從 \(1\) 到 \(n\) 列舉，每次卷積的複雜度也只有 \(O(4nm)=O(nm)\)，總複雜度 \(O(n^2m)\)。雖然劣一些，但是好寫
怎麼只有這麼點例題啊
會加上的會加上的qaq