動態規劃一直被認為是最難理解的一種演算法思想，什麼重疊子問題、動態轉移方程、最優子結構等等，一聽就高深莫測，沒有往下學習下去的動力

一、初識動態規劃

廢話不多說，我們直接先上一個經典的例子。那就是耳熟能詳的斐波那契數列問題。我們先來看一下問題的定義。

斐波那契數列的定義如下： 斐波那契數列指的是這樣一個數列0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,..... 它以遞迴的方法來定義： F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）

1. 遞迴解決：

這個例子最直觀的方法就是用遞迴的方式來實現，畢竟斐波那契數列是用遞迴來定義的。我們來看一下程式碼實現。

def fibs(n):
     if n<2:
          return n
     return fibs(n-1)+fibs(n-2)

C#實現

public static int Foo(int i)
        {
            if (i <= 0)
            {
                return 0;
            }
            else if (i > 0 && i <= 2)
            {
                return 1;
            }
            
 
else
            {
                return Foo(i - 1) + Foo(i - 2);
            }
        }

這樣是不是很簡單。我們接下來看一下呼叫的遞迴樹。我們以fibs(6)為例。

其中每個結點表示要計算的斐波那契數列的第幾項，我們可以從上圖發現，會出現許多重複計算的問題，比如fib(4)就計算了兩次。這樣就會帶來時間和空間上的消耗，那我們有什麼方式可以避免重複計算的問題。我們可以使用遞迴中的“備忘錄”功能來解決。我們來看一下程式碼如何實現。

二、用動態規劃解決

我們把整個求解過程分為n個階段，每個階段去求解數列對應項的值。我們在解決當前問題時，也就是求解該對應項的值的時候，會依賴過去的狀態，也就是前面幾項的值來計算。比如我們在求解fibs(6)的時候，我們需要用到fibs(5)和fibs(4)這兩項。 我們來定義一個數組，來記錄每項的狀態。我們也叫做狀態轉移矩陣。 按照斐波那契數列的定義：

F(0)=0,F(1)=1
F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n>=2)

我們可以看到F(n)的值只與他的前兩個狀態有關。所以我們只要知道他的前兩個狀態，就可以求出F(n)。

1. 初始化值F(0)=0，F(1)=1，我們直接放入陣列中。
2. 要想計算F(2)，我們需要知道F(0)和F(1)，因為上一步已經放入陣列中，我們直接拿來用就好了，然後把F(2)的結果放入陣列中。
3. 要想計算F(3)，我們需要知道F(2)和F(1)，因為F(2)和F(1)已經存在數組裡了，我們直接拿來用就好了，然後把F(3)的結果放入陣列中。

....

依此類推，知道計算到n為止。整個狀態轉移矩陣就計算好了。如下圖所示。我們以求解F(5)為例。

下面我們直接看程式碼實現，這樣比較簡單明瞭。

def fibs(n):
     if n<2:
          return n
     dp=[0 for _ in range(n+1)]
     dp[0]=0
     dp[1]=1
     for i in range(2,n+1):
          dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]
     return dp[n]
print(fibs(6))

上面的程式碼是不是很簡潔明瞭。這就是一種用動態規劃來解決問題的思路。我們把問題分解為n個階段，一個階段一個階段去求解。然後通過當前狀態，來求出下一個狀態，動態的往前推進，這是不是還挺形象的