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動態規劃

• 什麼情況下可以用到動態規劃問題（求所有，不用）
  1、求最大值/最小值（從左上角到右上角路徑的最大數字和、最長上升子序列長度）
  2、求方案數（有多少種方式走到右下角、有多少種方法選出K個數使得和是Sum）
  3、求存在性（取石子游戲，先手是否必勝；能不能選出K個數使得和是Sum）

• 動態規劃四步解題法
  1、確定狀態
  2、狀態方程
  3、初始條件和邊界情況
  4、計算順序

• 舉例說明解法
  你有三種硬幣，分別面值2元，5元和7元，每種硬幣都有足夠多。買一本書需要27元。如何用最少的硬幣組合正好付清，不需要對方找錢？
  確定狀態：

  
  1、先看最後一步
  最後一步：存在最後一枚硬幣，an（2、5、7）
  不去關心前面的a1、a2…an-1，只確定前面拼出了27-an
  2、分解為子問題
  如果an是2，f（27）應該是：f（27-2）+1
  如果an是5，f（27）應該是：f（27-5）+1
  如果an是7，f（27）應該是：f（27-7）+1
  狀態方程：
  對於任意x：f[x]=min{ f[x-2]+1,f[x-5]+1,f[x-7]+1}
  初始條件和邊界情況：
  初始條件：設定f（0）=0
  邊界情況：如果不能組合出Y，設定f（Y）=正無窮
dp[i]=Integer.MAX_VALUE;
if (i-coins[j]>=0&&
  //錢數大於硬幣數值
  dp[i-coins[j]]!=Integer.MAX_VALUE&&//之前子問題沒有最優解
  dp[i-coins[j]]+1<dp[i])//下一個金額硬幣數量大於上一個
  舉例：1、f(1)=f(1-2)+1=f(-1)+1=正無窮 2、 f(2)=f(2-2)+1=f(0)+1=1
  計算順序：
  可能要考慮，從f（27）、f（26）還是f（1）、f（2）開始呢？
  原則：f（x）=f（x-1）+f（x-2）+…確保，等式右邊都是已知的，計算過的。如果計算f（5）的時候，發現f（3）還沒有計算，那就是錯的。

for (int i = 1; i <dp.length;
 
 i++) {
    for (int j = 0; j < n; j++) {
    ....
    }
}

原題：

public static void main(String[] args) {
        int[] coins=new int[]{2,5,7};
        System.out.println(coinChange(coins,59));
    }
    public static int coinChange(int[] coins,int amount){
        //硬幣的數量
        int n=coins.length;
        //換取i元的最小硬幣數量
        int[] dp=new int[amount+1];
        //初始條件
        dp[0]=0;
        //狀態方程
        for (int i = 1; i <dp.length; i++) {
            dp[i]=Integer.MAX_VALUE;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                //邊界條件
                if (i-coins[j]>=0&&//錢數大於硬幣數值
                dp[i-coins[j]]!=Integer.MAX_VALUE&&//之前子問題沒有最優解
                dp[i-coins[j]]+1<dp[i])//下一個金額硬幣數量大於上一個
                    dp[i]=dp[i-coins[j]]+1;
            }
        }
        if (dp[amount]==Integer.MAX_VALUE)
            return -1;
        else
            return dp[amount];
    }

執行結果：