大鴿子 llmmkk 正在補8.3號咕掉的題

時隔兩個月，再看到這道題，我又是一臉懵，這種思維的培養太重要了

連結：

P4587

題意：

給出 \(n\) 個點的序列，\(m\) 次詢問區間神祕數。

神祕數定義為最小的不能被序列的子集的和表示的正整數。

如序列 \(\{1,1,4,1,13\}\) 的神祕數是 \(8\)。

分析：

這題重點在神祕數的求法，先考慮暴力求法，由於定義是序列子集，那麼首先考慮將該區間排序，可能會得到一些有用的性質。

假設當前能夠表示的區間是 \([1,sum]\)，對於當前的數 \(x\) 。

1. \(x>sum+1\)，那麼答案就是 \(sum+1\)。
2. \(x\leq sum+1\)，那麼能夠表示的區間將會變成 \([1,sum+x]\)，繼續考慮下一個數。

仔細想一下會發現這個暴力很對。

然後考慮優化，暴力是一個一個判斷並處理的，我們考慮一次性處理多個 \(x\)。於是正解就是：

假設當前能夠表示的區間是 \([1,sum]\)，記區間內所有小於等於 \(sum\) 的 \(x\) 之和為 \(res\)。

1. \(res+1>sum\)，那麼將 \(sum\) 更新為 \(res+1\)
2. \(res+1\leq sum\) ，那麼答案就是 \(sum+1\)

仔細想想這個東西，發現它成功做到了上面的優化，同時它的正確性也很對。因為這個做法實在太難以言傳了，所以可以再參考一下

時間複雜度分析：假如當前的神祕數為 \(s1\)，下一個神祕數是 \(s2\)，再下一個是 \(s3\)，那麼從 \(s2\) 到 \(s3\) 相比從 \(s1\) 到 \(s2\) 多出來的 \(x\) 一定是大於 \(s1\) 的，所以 \(ans\) 是成倍增長的，於是這個做法的複雜度就是 \(O(\log\sum a)\)

演算法：

於是我們需要一個東西能夠維護區間內某個值域的數值之和。可以在每個位置維護一個從 \(1\) 到當前位置的權值線段樹，拉到主席樹上，然後兩個區間查詢相減就可以做到。

主席樹 \(O(n\log n)\)，上面的演算法 \(O(\log\sum a)\)

程式碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define in read()
inline int read(){
	int p=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(isdigit(c)){p=p*10+c-'0';c=getchar();}
	return p*f;
}
const int N=1e5+5;
int n,m;
int a[N],q[N],qn,w[N];
int bin(int key){
	int l=1,r=qn,mid;
	while(l<r){
		mid=(l+r+1)>>1;
		if(q[mid]<=key)l=mid;
		else r=mid-1;
	}
	return l;
}
int rt[N];
int tot,sum[N<<5],lc[N<<5],rc[N<<5];
int newnode(){
	++tot;
	sum[tot]=lc[tot]=rc[tot]=0;
	return tot;
}
void pushup(int p){
	sum[p]=sum[lc[p]]+sum[rc[p]];
}
int fi_built(int l,int r){
	int p=newnode();
	if(l==r){return p;}
	int mid=(l+r)>>1;
	lc[p]=fi_built(l,mid);
	rc[p]=fi_built(mid+1,r);
	return p;
}
int built(int l,int r,int pre,int x,int d){
	int now=newnode(),mid=(l+r)>>1;
	sum[now]=sum[pre],lc[now]=lc[pre],rc[now]=rc[pre];	
	if(l==r){sum[now]+=d*q[l];return now;}
	if(x<=mid)lc[now]=built(l,mid,lc[now],x,d);
	else rc[now]=built(mid+1,r,rc[now],x,d);
	pushup(now);
	return now;
}
int query(int l,int r,int p,int ql,int qr){
	if(ql>qr)return 0;
	if(l>=ql&&r<=qr)return sum[p];
	int mid=(l+r)>>1,res=0;
	if(ql<=mid)res+=query(l,mid,lc[p],ql,qr);	
	if(qr>mid)res+=query(mid+1,r,rc[p],ql,qr);
	return res;
}
signed main(){
	n=in;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=in,q[i]=a[i];
	sort(q+1,q+1+n);
	qn=unique(q+1,q+1+n)-(q+1);
	rt[0]=fi_built(1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		rt[i]=built(1,n,rt[i-1],bin(a[i]),1);
	m=in;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int l=in,r=in;
		int ans=1,tans=bin(ans);
		int que=query(1,n,rt[r],1,tans)-query(1,n,rt[l-1],1,tans);
		while(que+1>ans){
			ans=que+1;
			tans=bin(ans);
			que=query(1,n,rt[r],1,tans)-query(1,n,rt[l-1],1,tans);
		}
		cout<<ans<<'\n';
	}
    return 0;
}