這裡是離散數學圖論的學習筆記，然而由於學校的關係跳過了集合論、序偶、二元關係等一些可能運用到的基礎知識，所以可能數學符號和表述方面會有一些問題 qaq

\[\newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \rule{750px}{1px} \]

圖是一個三元組 \(\langle V(G), E(G), \varphi_G \rangle\)（或四元組 \(\langle V(G), E(G), \varphi_G, \psi_G \rangle\)），其中 \(V(G)\) 為圖的結點集，\(E(G)\) 為圖的邊集，\(\varphi_G\)

為 \(E(G)\) 中元素到序偶的函式，\(\psi_G\) 為 \(E(G)\) 中的元素到任意字符集 \(S\) 的函式。我們通常將圖簡記為 \(G = \langle V, E \rangle\)， 我們要求 \(V\) 為非空集合。

現在給出一些定義：如果圖中所有邊都用有序偶 \(\langle v_i, v_j \rangle\) 表示，則稱其為有向圖，如果所有邊都用無序偶 \((v_i, v_j)\) 表示，則稱其為無向圖。如果既有無序偶又有有序偶的圖稱為混合圖。

只有孤立節點的圖為零圖，只有單個節點的零圖稱為平凡圖。（trivial !）

如果一條邊在 \(V\) 中出現多次，則稱這些邊為平行邊

，出現的次數稱為這條邊的重數。如果一條邊的起點和終點（兩個端點）相同，則我們稱這條邊為自迴路或環。

我們定義不含平行邊的圖為線圖，不含自迴路的線圖稱為簡單圖。

與結點 \(u\) 相關聯的邊數為該節點的度數，記作 \(\deg(u)\)；其中以結點 \(u\) 為起點的邊數為出度，記作 \(\deg^+(u)\)，以結點 \(u\) 為終點的邊數為入度，記作 \(\deg^-(u).\)

我們顯然有：

\[\begin{align} & \deg(u) = \deg^+(u) + \deg^-(u) \tag{1} \\ & \sum_{u \in V} \deg(u) = 2 \lvert E \rvert \tag{2} \\ & \sum_{u \in V} \deg^+(u) = \sum_{u \in V} \deg^-(u) = \lvert E \rvert \tag{3} \end{align} \]

有了這些結論，注意到 \((2)\)

式表明任何圖中所有節點度數之和為偶數，我們容易得到一個推論，任何圖中，奇數度數的節點一定有偶數個。

我們給出完全圖的概念，如果簡單圖 \(G = \langle V, E \rangle\) 中，如果每一對點都有邊將其相連，則該圖稱為完全圖。\(n\) 個點的完全圖記作 \(K_n.\) 顯然，\(K_n\) 有 \(\dbinom{n}{2}\) 條邊。

如果給定一個圖 \(G\)，由圖 \(G\) 中所有結點和所有能使 \(G\) 變成一個完全圖所需新增的邊構成的圖被稱為 \(\overline{G}\)。

設圖 \(G = \langle V, E \rangle, G' = \langle V', E' \rangle\)，其中 \(V' \subseteq V, E' \subseteq E\)，則稱 \(G'\) 為 \(G\) 的子圖。如果 \(\lvert E' \rvert = \lvert E \rvert\)，則 \(G'\) 稱為圖 \(G\) 的生成子圖。如果圖 \(G'' = \langle V'', E'' \rangle\) 使得 \(E'' = E - E'\)，\(V''\) 中僅包含 \(E''\) 中的邊關聯的結點，則圖 \(G''\) 稱為 \(G'\) 相對於 \(G\) 的補圖。