36. 有效的數獨

題目來源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/valid-sudoku

題目

判斷一個 9x9 的數獨是否有效。只需要根據以下規則，驗證已經填入的數字是否有效即可。

數字 1-9 在每一行只能出現一次。
數字 1-9 在每一列只能出現一次。
數字 1-9 在每一個以粗實線分隔的 3x3 宮內只能出現一次。

上圖是一個部分填充的有效的數獨。

數獨部分空格內已填入了數字，空白格用 '.' 表示。

示例 1:

輸入:
[
  ["5","3",".",".","7",".",".",".","."],
  ["6",".",".","1","9","5",".",".","."],
  [".","9","8",".",".",".",".","6","."],
  ["8",".",".",".","6",".",".",".","3"],
  ["4",".",".","8",".","3",".",".","1"],
  ["7",".",".",".","2",".",".",".","6"],
  [".","6",".",".",".",".","2","8","."],
  [".",".",".","4","1","9",".",".","5"],
  [".",".",".",".","8",".",".","7","9"]
]
輸出: true
 

示例 2:

輸入:
[
  ["8","3",".",".","7",".",".",".","."],
  ["6",".",".","1","9","5",".",".","."],
  [".","9","8",".",".",".",".","6","."],
  ["8",".",".",".","6",".",".",".","3"],
  ["4",".",".","8",".","3",".",".","1"],
  ["7",".",".",".","2",".",".",".","6"],
  [".","6",".",".",".",".","2","8","."],
  [".",".",".","4","1","9",".",".","5"],
  [".",".",".",".","8",".",".","7","9"]
]
輸出: false
解釋: 除了第一行的第一個數字從 5 改為 8 以外，空格內其他數字均與 示例1 相同。
     但由於位於左上角的 3x3 宮內有兩個 8 存在, 因此這個數獨是無效的。
 

說明:

• 一個有效的數獨（部分已被填充）不一定是可解的。
• 只需要根據以上規則，驗證已經填入的數字是否有效即可。
• 給定數獨序列只包含數字 1-9 和字元 '.' 。
• 給定數獨永遠是 9x9 形式的。

解題思路

思路：迭代，雜湊表

先看數獨有效的規則：

• 數字 1-9 在每一行只能出現一次。
• 數字 1-9 在每一列只能出現一次。
• 數字 1-9 在每一個以粗實線分隔的 3x3 宮內只能出現一次。

那麼我們可以根據這個規則，遍歷給定的數獨三次，分別去判斷每行，每列，每個 3x3 宮內是否有重複的數字。如果有重複的數字，可以直接返回 False；否則，直至遍歷結束，返回 True。

但是在這裡，可以考慮遍歷一次，同時去判斷每行，每列，每個 3x3 宮內是否有重複的數字。

在這裡，我們使用雜湊表去儲存每個數字出現的次數（包括每行，每列，每個 3x3 宮）。在這裡主要的問題是：因為數獨是 9x9 的，每行每列很容易列舉，但是列舉每個 3x3 宮格會有一些麻煩。

在這裡，列舉每個 3x3 宮，使用以下的式子：

box_index = (row // 3) * 3 + col // 3

根據上面的圖示，我們稍微說明一下，如何得到上面的式子。

先以列的角度看，標記為 0, 1, 2 的 3 個 3x3 宮格。可以看出這裡每個 3x3 宮格的索引更多取決於列索引。

先看標記為 0 的 3x3 宮格，這裡的列索引分別為 [0, 1, 2]， 1 的 3x3 宮格，這裡的列索引分別為 [3, 4, 5]， 2 的 3x3 宮格，這裡的列索引分別為 [6, 7, 8]，也就是 col // 3。

再以行的角度去看，標記為 0, 3, 6 的 3 個 3x3 宮格的索引跨度為 3，也就是說標記索引為 0 宮格如這樣得到的，0 * 3 + col // 3，標記為 3 的宮格為：1 * 3 + col // 3。

在這裡，上面公式的 [0, 1] 求得的公式與前面的類似，就是由 row // 3 獲得。那麼最終的式子為：

(row // 3) * 3 + col // 3

這裡稍微提一下，題目中說明，有效數獨並不一定可解，這裡不考慮是否可解，要求驗證的是已經填入的數字是否有效。

具體的演算法思路：

• 遍歷數獨，檢查數字在每行，每列，每個 3x3 宮格中是否有重複：
  • 如果重複，返回 False
  • 否則，記錄該數字，往下繼續遍歷
• 最終遍歷結束，返回 True。

以示例 2 為例，下面圖示表示演算法實現搜尋的過程：

具體的程式碼實現如下。

程式碼實現

class Solution:
    def isValidSudoku(self, board: List[List[str]]) -> bool:
        # 定義雜湊表儲存數字出現在每行，每列，每個 3x3 的宮格的次數
        # 題目中說明，給定的數獨一定是 9x9 的
        rows = [{} for _ in range(9)]
        cols = [{} for _ in range(9)]
        boxes = [{} for _ in range(9)]

        for i in range(9):
            for j in range(9):
                # 題目中要驗證是已經填入的數字，如果出現 '.' 表示留空，不作處理
                if board[i][j] != '.':
                    # 取出數字，存入雜湊表中（需要轉換，給定的二維陣列數字是字串格式）
                    num = int(board[i][j])

                    rows[i][num] = rows[i].get(num, 0) + 1
                    cols[j][num] = cols[j].get(num, 0) + 1
                    # 代入列舉 3x3 宮格的公式
                    boxes[(i // 3) * 3 + j // 3][num] = boxes[(i // 3) * 3 + j // 3].get(num, 0) + 1

                    # 行，列，3x3 宮格，任意一個如果出現數字重複，則返回 False
                    if rows[i][num] > 1 or cols[j][num] > 1 or boxes[(i // 3) * 3 + j // 3][num] > 1:
                        return False
        return True

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