動態規劃-01揹包問題-記錄路徑
阿新 • • 發佈：2022-03-26
題目詳情
題目的大意是這樣的：在一個洞穴中有n件寶物，每個寶物有重量、價值以及距離屬性。所謂的距離屬性是指從任意一個地方到這個寶物的位置需要耗費的路程時間。洞穴中除了寶物，還有一個魔王，魔王最開始是處於沉睡狀態的，一旦魔王甦醒後，探險者將被魔王殺害而無法出洞，魔王的睡眠時間是wakeTime。此外，探險者擁有一個揹包，揹包的最大容量是packageSize，他可以採集任意的寶物，而且採集一個寶物的時間需要耗費1。
問題是：如何在魔王甦醒時間之前採集到價值儘量大的寶物，要求採集到的寶物總重量不能超出揹包容量，結果需要輸出可以採集到的寶物id陣列。
題解分析
解法一：01揹包問題+記錄路徑
- 本題是典型的揹包問題，但是情景相對更加複雜，因為除了重量和價值屬性，寶物還具有時間屬性，所以這不能使用傳統的二維dp來求解。
- 本題可以使用一個三維陣列來記錄動態狀態，假設動態規劃方程定義為：
int[][][] dp，其中，dp[i][j][k]表示選第i個寶物揹包容量為j時間為k的最大價值。動態轉移方程如下：
- 本題還有一個難點就是，題目並不是返回最大價值，而是滿足條件的路徑。所以，這裡還需要記錄路徑。
- 記錄路徑有兩種方法，一種方法是使用parent陣列，這種方法的缺點是需要額外定義一個類用於存放三個下標。
package interview; import java.util.LinkedList; /** * @Author WaleGarrett * @Date 2022/3/26 14:59 */ // 6,10, // [[1, 2, 4, 3], [2, 3, 2, 2], [3, 4, 1, 4], [4, 1, 1, 9]] public class King { static class Gene{ int i, j, k; Gene(){} Gene(int _i, int _j, int _k){ i = _i; j = _j; k = _k; } } /** * 求在魔王甦醒之前，可以獲取到價值最高的寶物列表； * @param packageSize int整型 揹包容量 * @param wakeTime int整型 魔王睡醒時長 * @param treasureInfo int整型二維陣列 寶物資訊陣列；寶物資訊陣列；[[寶物id, 寶物距離, 寶物重量, 寶物價值]] * @return int整型一維陣列 */ public static int[] getTreasures(int packageSize, int wakeTime, int[][] treasureInfo) { // dp[i][j][k]表示選第i個寶物揹包容量為j時間為k的最大價值 // dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k], dp[i-1][j-weight[i]][k-1-time[i]]); int n = treasureInfo.length; int[][][]dp = new int[n+1][packageSize+1][wakeTime+1]; int[] weight = new int[n]; int[] time = new int[n]; int[] value = new int[n]; for(int i=0; i<n; i++){ weight[i] = treasureInfo[i][2]; time[i] = treasureInfo[i][1]; value[i] = treasureInfo[i][3]; } Gene[][][] parent = new Gene[n+1][packageSize+1][wakeTime+1]; for(int i=1; i<=n; i++){ for(int j=0; j<=packageSize; j++){ if(j < treasureInfo[i-1][2]){ for(int k=0; k<=wakeTime; k++) { dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k]; parent[i][j][k] = new Gene(i - 1, j, k); } continue; } for(int k=0; k<=wakeTime; k++){ if(k < (1 + time[i-1])){ parent[i][j][k] = new Gene(i - 1, j, k); dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k]; continue; } if(dp[i-1][j-weight[i-1]][k-1-time[i-1]] + value[i-1] > dp[i-1][j][k]){ dp[i][j][k] = dp[i-1][j-weight[i-1]][k-1-time[i-1]] + value[i-1]; parent[i][j][k] = new Gene(i - 1, j - weight[i - 1], k - 1 - time[i - 1]); }else{ dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k]; parent[i][j][k] = new Gene(i - 1, j, k); } } } } LinkedList<Integer> sta = new LinkedList<>(); Gene now = new Gene(n, packageSize, wakeTime); while(now.i != 0 && now.j != 0 && now.k != 0){ Gene par = parent[now.i][now.j][now.k]; if(dp[now.i][now.j][now.k] != dp[par.i][par.j][par.k]){ sta.push(now.i); } now = par; } int[] res = new int[sta.size()]; int num = 0; while(!sta.isEmpty()){ res[num++] = sta.poll(); } return res; } public static void main(String[] args) { int[] res = getTreasures(6, 10, new int[][]{{1, 2, 4, 3}, {2, 2, 2, 2}, {3, 4, 1, 4}, {4, 5, 1, 9}}); for(int i : res){ System.out.println(i); } } }
- 除了使用parent陣列，我們還可以仔細觀察一下動態轉移方程。因為每次我們考慮問題都是放或者不放當前的寶物，所以，我們可以使用一個三維陣列來記錄是否放當前寶物。然後，為了輸出路徑，我們可以倒敘遍歷i,j,k，並且在遍歷到某個寶物確實是放在揹包時，我們需要減去當前寶物的時間和重量依次來更新j,k。從而，我們可以使用一個棧來記錄路徑。
package interview; import java.util.LinkedList; /** * @Author WaleGarrett * @Date 2022/3/26 14:59 */ // 6,10, // [[1, 2, 4, 3], [2, 3, 2, 2], [3, 4, 1, 4], [4, 1, 1, 9]] public class King { /** * 求在魔王甦醒之前，可以獲取到價值最高的寶物列表； * @param packageSize int整型 揹包容量 * @param wakeTime int整型 魔王睡醒時長 * @param treasureInfo int整型二維陣列 寶物資訊陣列；寶物資訊陣列；[[寶物id, 寶物距離, 寶物重量, 寶物價值]] * @return int整型一維陣列 */ public static int[] getTreasures(int packageSize, int wakeTime, int[][] treasureInfo) { // dp[i][j][k]表示選第i個寶物揹包容量為j時間為k的最大價值 // dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k], dp[i-1][j-weight[i]][k-1-time[i]]); int n = treasureInfo.length; int[][][]dp = new int[n+1][packageSize+1][wakeTime+1]; int[] weight = new int[n]; int[] time = new int[n]; int[] value = new int[n]; for(int i=0; i<n; i++){ weight[i] = treasureInfo[i][2]; time[i] = treasureInfo[i][1]; value[i] = treasureInfo[i][3]; } boolean[][][] flag = new boolean[n+1][packageSize+1][wakeTime+1]; for(int i=1; i<=n; i++){ for(int j=0; j<=packageSize; j++){ if(j < treasureInfo[i-1][2]){ for(int k=0; k<=wakeTime; k++) { dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k]; } continue; } for(int k=0; k<=wakeTime; k++){ if(k < (1 + time[i-1])){ dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k]; continue; } if(dp[i-1][j-weight[i-1]][k-1-time[i-1]] + value[i-1] > dp[i-1][j][k]){ dp[i][j][k] = dp[i-1][j-weight[i-1]][k-1-time[i-1]] + value[i-1]; flag[i][j][k] = true; }else{ dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k]; } } } } LinkedList<Integer> sta = new LinkedList<>(); int i= n, j = packageSize, k = wakeTime; while(i > 0 && j>0 && k > 0){ if(flag[i][j][k]){ j -= weight[i-1]; k -= (1 + time[i-1]); sta.push(i); } i--; } int[] res = new int[sta.size()]; int num = 0; while(!sta.isEmpty()){ res[num++] = sta.poll(); } return res; } public static void main(String[] args) { int[] res = getTreasures(6, 10, new int[][]{{1, 2, 4, 3}, {2, 2, 2, 2}, {3, 4, 1, 4}, {4, 5, 1, 9}}); for(int i : res){ System.out.println(i); } } }