圖論入門
僕の圖論本當苦手,何の事僕に適當作る？
Topo sort
定義&性質
————OI wiki
求法就是樸素選取入度為0的點，將其加入答案序列的末端。根據選取模式的不同可以得到不同的topo序
時間複雜度 \(O(n+m)\)
性質 & 應用：
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基於定義性質的直接應用
例題1：CF721C
題意： 給出一個 \(n\) 個點 \(m\) 條邊的有向無環圖。問從 \(1\) 到 \(n\) ，在距離不超過 \(k\) 的情況下最多經過多少點，並輸出一個方案。
解法： 先進行拓撲排序，則拓撲序排在 \(u\) 後的點 \(v\) 均不可能到達 \(u\)。使得DP滿足了無後效性，於是直接樸素記錄路徑進行DP即可。例題2：CF1385E
題意： 給你一張圖，有些邊是有向邊，有一些是無向邊，讓你給無向邊添上方向，使這張圖成為一個有向無環圖。
解法： 根據拓撲序的性質，一個DAG上的邊，必然由拓撲序小的點指向拓撲序大的點，其實這是充要條件。於是先對有向邊進行拓撲排序，然後剩下的點拓撲序任意調整，最後按上面方法構造即可。 -
基於構造方法的應用
例題1：LuoguP7054
題意： 給定一張 \(n\) 點 \(m\) 條邊的有向無環圖，你可以至多新增 \(k\) 條有向邊，使得這仍然是一個有向無環圖，使得字典序最小的拓撲序的字典序儘量大。輸出這個拓撲序以及方案。
解法：
考慮如何確定字典序最小的拓撲序？
即普通拓撲排序過程中，用小根堆儲存入度為 \(0\)的點，每次取堆頂即可。
手中有加邊的機會，意味著我們可以讓這個小根堆堆頂元素放到某些待加入的點後部，或者放我們想要的元素到小根堆中。
更具體的，我們維護兩個集合 \(u,v\) ，\(u\) 表示此時入度為零的集合， \(v\) 表示我們加了邊延後放的集合,\(u\) 用小根堆維護,\(v\) 用大根堆維護。
接下來就是分類討論：- 若 \(siz_u>1\) 且 \(k>0\)。則往拓撲序中放入 \(u\) 堆頂元素一定不如放入 \(u\) 中其他的元素，則將 \(top_u\) 放入 \(v\) 中即可，並令 k-=1;
- 若 \(siz_u=1\) 。比較 \(u\) \(v\)堆頂元素大小，放入較大的元素即可。
- 若 \(siz_u=0\) 只能放入 \(v\) 堆頂元素了。
此時就是最優的拓撲序，至於構造，從 \(v\) 中彈出元素時和拓撲序前一個元素連邊即可。
例題2：LuoguP4099
題意： 給定一張樹形圖，求拓撲序數量。
解法：
樹形圖，直接當成樹就可以了罷！
我們並不關心具體的拓撲序長什麼樣子。只在乎如何能夠唯一表示。
直接設 \(f_{i,j}\) 表示此時 \(i\) 點在已處理序列中排名第 \(j\) 的方案數，顯然此時可以做到不重不漏。
轉移過程直接列舉 \(u,v\) 的排名，分類討論討論就出來辣！！！
順便考察了字首和優化，動手寫寫叭。 -
難以分類的妙妙題
例題1：ARC083F
題意： 平面直角座標系上有 \(2n\) 個小球，座標為 \((x_i,y_i)\)。其中 \(y=0,x=1,2,...,n\) \(y=1,2,...,n,x=0\) 處都有一個機器人。\(y=0\) 的機器人向 \(y\) 的正方向前進，\(x=0\) 的機器人向 \(x\) 的正方向前進。每個機器人遇見第一顆小球就會同歸於盡。
求有多少種機器人出場的排列，使得場面上小球和機器人都GG了。
解法:
一個常見的思路就是建立二分圖，將行列變為兩個部分的點，元素作為邊。
一個連通塊有解，當且僅當邊數等於點數。
形成了一個基環樹森林，然後你可以任意定向邊。問題轉化成了求拓撲序數量。
稍作分析，則環點必定被相鄰環點支配，非環點必定被非環點支配。
因此環上只有兩種解，列舉這兩種解。
然後推推可得一個基環樹的答案為