P1005 矩陣取數遊戲

阿新 • • 發佈：2020-08-29

P1005 矩陣取數遊戲

題目描述

帥帥經常跟同學玩一個矩陣取數遊戲：對於一個給定的 n×m 的矩陣，矩陣中的每個元素 ai,j 均為非負整數。遊戲規則如下：

每次取數時須從每行各取走一個元素，共 n 個。經過 m 次後取完矩陣內所有元素；
每次取走的各個元素只能是該元素所在行的行首或行尾；
每次取數都有一個得分值，為每行取數的得分之和，每行取數的得分 = 被取走的元素值 ×$2^i$，其中 i 表示第 i 次取數（從 1 開始編號）；
遊戲結束總得分為 m 次取數得分之和。

帥帥想請你幫忙寫一個程式，對於任意矩陣，可以求出取數後的最大得分。

輸入格式

輸入檔案包括 n+1 行：

第一行為兩個用空格隔開的整數 n 和 m。

第 2∽n+1 行為 n×m 矩陣，其中每行有 m 個用單個空格隔開的非負整數。

輸出格式

輸出檔案僅包含1行，為一個整數，即輸入矩陣取數後的最大得分。

輸入輸出樣例

輸入 #1

2 3
1 2 3
3 4 2

輸出 #1

資料範圍：

100% 的資料滿足：1≤n,m≤80，0≤ai,j≤1000。

一道區間DP題。

我們發現每行的答案都是分開來的，並沒有相互影響，我們就可以一行一行的找最大值，假設當前找到了第$k$行；

$f[i][j]$陣列表示$i$到$j$這段區間沒有選數的最大得分，那麼狀態轉移方程就很好列出來：

\[f[i][j] = max(f[i - 1][j] + 2^{m - j + i} * a[k][i - 1], f[i][j + 1] + 2^{m - j + i} * a[k][j + 1]) \]

注意$i > j + 1$，這表示這一行找完了，沒有數可選了，如果只找到$i = j$，那相當於少找了一個數。

這道題要用高精，不過用__int128可以水過去。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>

using namespace std;

inline __int128 read() {
    __int128 s = 0, f = 1; char ch;
    while(!isdigit(ch = getchar())) (ch == '-') && (f = -f);
    for(s = ch ^ 48;isdigit(ch = getchar()); s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48));
    return s * f;
}

int n, m;
__int128 f[85][85], a[85][85];
__int128 ans;

__int128 ksm(__int128 x, int y) {
    __int128 res = 1;
    while(y) {
        if(y & 1) res = res * x;
        x = x * x; y >>= 1;
    }
    return res;
}

void put(__int128 x) {
    if(x > 9) {
        put(x / 10);
    }
    printf("%d", (int) (x % 10));
}

void init() {
    n = read(); m = read();
    for(int i = 1;i <= n; i++) {
        for(int j = 1;j <= m; j++) {
            a[i][j] = read();
        }
    }
}   

void work() {
    for(int k = 1;k <= n; k++) {
        memset(f, 0, sizeof(f));
        __int128 res = 0;
        for(int i = 1;i <= m; i++) {
            for(int j = m;j >= 1; j--) {
                if(i > j + 1) break;
                int num = m - j + i - 1;
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j] + ksm(2, num) * a[k][i - 1]);
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j + 1] + ksm(2, num) * a[k][j + 1]);
                res = max(res, f[i][j]);
            }
        }
        ans += res;
    }
    put(ans);
}

int main() {

    init();
    work();

    return 0;
}