17世紀後期，牛頓、萊布尼茨創立微積分學，成為解決眾多問題的重要而有力的工具，並在實際應用中獲得了巨大成功，然而，微積分學產生伊始，迎來的並非全是掌聲，在當時它還遭到了許多人的強烈攻擊和指責，原因在於當時的微積分主要建立在無窮小分析之上，而無窮小後來證明是包含邏輯矛盾的.

1734年，大主教喬治·貝克萊，以“渺小的哲學家”之名出版了一本標題很長的書<<分析學家或一篇致一位不信神數學家的論文，其中審查一下近代分析學的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點有更清晰的表達，或更明顯的推理>>.

在這本書中，貝克萊對牛頓的理論進行了攻擊，例如他指責牛頓，為計算比如說x的導數，先將取一個不為0的增量Δx，由(x + Δx)2 ? x2，得到2xΔx + (Δx)2 ，後再被Δx除，得到2x + Δx，最後突然令Δx = 0 ，求得導數為2x ，這是“依靠雙重錯誤得到了不科學卻正確的結果”，因為無窮小量在牛頓的理論中一會兒說是零，一會兒又說不是零，因此，貝克萊嘲笑無窮小量是“已死量的幽靈”，貝克萊的攻擊雖說出自維護神學的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的.

數學史上把貝克萊的問題稱之為“貝克萊悖論”，籠統地說，貝克萊悖論可以表述為“無窮小量究竟是否為0”的問題：就無窮小量在當時實際應用而言，它必須既是0，又不是0，但從形式邏輯而言，這無疑是一個矛盾.

首先在有ε-δ語言這套說法之前，關於極限、微分這些概念是不嚴密的，因為這些東西是從物理的運動學中來的，由牛頓等人在研究物理的運動問題時提出，是同運行相關的概念聯系在一起的，所以導致了對極限的認識不清，當時的英國主教喬治·貝克萊就批評牛頓的流數觀念，比如說在求微分的時候，牛頓首先給出x一個增量△x，然後又讓△x是零，這違背了“背反律”，就是說既然開始定義了△x是一個增量，那麽△x就不能為0（不然增什麽量呢？），然後在求微分時又讓△x成為了零，這不是相互矛盾了嗎？還有依靠“忽略高階無窮小消除誤差”的做法是“錯誤互相抵償”，仔細想想，還是挺有道理的，既然要用直線來逼近曲線，那麽忽略掉了高階無窮小，焉知是否會帶來更多的誤差呢？其次，還有對函數什麽條件下才是可微的沒有清晰嚴密的認識，導致很多的混亂，比如一開始大家都以為只要函數是連續的則函數就是可微的，結果後來魏爾斯特拉斯構造出了一個處處連續但處處不可微的函數才推翻了人們的直觀認識，更早另外有人也構造除了這樣的函數，但沒有什麽影響，然後魏爾斯特拉斯才用這套ε-δ語言來對數學分析進行嚴密化，從而使得數學分析才有了堅實的基礎，瀝青了前人的各種錯誤觀念，使得數學分析真正成為了整個現代物理的基礎.

貝克萊悖論