本節目標

(1)學習導數，即認識導數是什麼，但是會在學習過程中引起一些思維上的矛盾之處，所以引入第二個目標(2)避免矛盾，即認識這些矛盾是什麼，怎麼解決

導數的含義

1.矛盾的瞬時變化率叫法

這個詞本身就是矛盾的，瞬時指一個時間點，而變化率是倆時間點，相互矛盾。

數學家這才想到導數這個詞來描述 他們想描述的導數

2.開始討論導數

以一輛車開始，考慮一輛車花10秒從起點開到終點

畫出小車的路程曲線s(t)和速度曲線v(t), 注意速度曲線是度量出來，不是由路程曲線算出的，我們現在會奇怪這兩條線有啥關係？直覺告訴我們瞬時速度越大，路程曲線越陡峭

但是講瞬時速度沒有什麼意義，給你一張車的瞬時照片，你也看不出瞬時速度多少

而給你車在兩個時間點的路程，你就能算出來瞬時速度，這樣你就得到了速度的本體

回到速度和路程函式，我們想知道一個時間點的速度值，但是需要兩個時間點的路程值才能算出來。開講人說這個點當前微積分創始人感覺很矛盾，我不感覺。

這就是想描述一個物理現象不能直接就得到，必須通過間接手段，如果啥都那麼直接，那這個社會太簡單了

3.進一步理解變化率

車速表怎麼顯示速度呢？

其實是通過計算一小段時間的路程變化才計算的，而路程可以用編碼器算輪胎打轉了多少，而時間就是表了，所以編碼器或表壞都會讓車速計壞了

所以現實是不會直接計算一個瞬時速度(1個時間點)，而是計算速度(需要倆時間點)。。速度和瞬時速度是物理上的概念，速度是不精確的，如果時間差無限小，那麼就是瞬時速度了。

下圖引入ds/dt來表示速度，指一小段距離差除以一小段時間差

在座標軸上就是如下圖所示

ds/dt隨時間變化，所以是一個時間函式。而電腦畫v(t)函式就是根據極短時間的ds/dt算出來的，能非常精確的刻畫真實的速度，這就是用數學來近似真實的世界啊

zh

4.正式面對導數

純數學上，dt並不是一個確定值，比如0.1，導數是dt趨近於0的比值

從圖上來看，dt越大時，ds/dt是圖上兩點直線構成的斜率

隨著dt越來越小，ds/dt趨近於切線的斜率，這才是純數學上的導數。dt不是無窮小，也不是0，是接近0的有限小量。這樣想導數不是絕對瞬時，別把它看成某一點的瞬時變化率，而是當成某一點附近的變化率。

5.再強調一下dt和ds

這倆都是有實際大小的，沒大小怎麼除

這裡就把這倆當成數進行除，然後得到值了，再把dt趨近於0，忽略後兩項

更通用的是把2當成t,求得任一點的導數

算導數就是先除，然後再把它趨近於0

6.不存在瞬時變化率，導數不是描述瞬時的

車在0時刻的瞬時速度為0，但是車動了嗎？看不出來他有沒有動的趨勢啊

所以導數是描述這段時間的平均速度的，即在0秒附近的運動，而不是絕對的瞬時

導數=0不能說明速度就是0，只是說明瞬時速度趨近於0，只是近似為0

所以下次聽到 "導數是瞬時變化率" 這一矛盾的說法，就當成是變化率的近似就行，不用吹毛求呲

感悟

導數是描述dt時間的變化率，是一段時間的近似，而不是一個時刻。一般人講瞬時，自然就把它當成非常短時間的近似，而不是真的時刻。

在這章的導數描述的是路程隨時間的變化率。

開獎人在講的過程中把瞬時當成絕對的瞬時，在最後才勸我們怎麼理解別人口中的瞬時。而我潛意識是把瞬時一會當絕對，一會自然當成近似。