Description

在社交網絡（socialnetwork）的研究中，我們常常使用圖論概念去解釋一些社會現象。不妨看這樣的一個問題。在一個社交圈子裏有n個人，人與人之間有不同程度的關系。我們將這個關系網絡對應到一個n個結點的無向圖上，兩個不同的人若互相認識，則在他們對應的結點之間連接一條無向邊，並附上一個正數權值c，c越小，表示兩個人之間的關系越密切。我們可以用對應結點之間的最短路長度來衡量兩個人s和t之間的關系密切程度，註意到最短路徑上的其他結點為s和t的聯系提供了某種便利，即這些結點對於s和t之間的聯系有一定的重要程度。我們可以通過統計經過一個結點v的最短路徑的數目來衡量該結點在社交網絡中的重要程度。考慮到兩個結點A和B之間可能會有多條最短路徑。我們修改重要程度的定義如下：令Cs,t表示從s到t的不同的最短路的數目，Cs,t(v)表示經過v從s到t的最短路的數目；則定義

為結點v在社交網絡中的重要程度。為了使I(v)和Cs,t(v)有意義，我們規定需要處理的社交網絡都是連通的無向圖，即任意兩個結點之間都有一條有限長度的最短路徑。現在給出這樣一幅描述社交網絡的加權無向圖，請你求出每一個結點的重要程度。

Input

Output

輸出包括n行，每行一個實數，精確到小數點後3位。第i行的實數表示結點i在社交網絡中的重要程度。

Sample Input

Sample Output

HINT

社交網絡如下圖所示。

題解

從數據約定來看,$n<=100$,明顯可以用$floyd$,而且題目要求算某個中間點的重要程度,也比較符合$floyd$以中間點劃分階段的思想。
這道題主要就是要推理出最短路的條數怎麽算。
令$w[i,j]$為從點$i$到點$j$的最短路徑條數,$f[i,j]$為最短路。則根據最短路徑擁有最優子結構的性質和乘法原理,我們可以得出:
$$w[i,j]=w[i,j]+w[i,k]*w[k,j](f[i,j]=f[i,k]+f[k,j])$$
$$w[i,j]=w[i,k]*w[k,j](f[i,j]>f[i,k]+f[k,j])$$
再令$g[i,j,k]$為從點$i$到點$j$且經過點$k$的最短路徑的條數。也正是根據這個最優子結構,我們又可以明白:
$$g[i,j,k]=w[i,k]*w[k,j](f[i,j]=f[i,k]=f[k,j])$$
然後根據題目所給的公式統計答案就行了。

 1 //It is made by Awson on 2017.9.25
 2 #include <set>
 3 #include <map>
 4 #include <cmath>
 5 #include <ctime>
 6 #include <queue>
 7 #include <stack>
 8 #include <vector>
 9 #include <string>
10 #include <cstdio>
11 #include <cstdlib>
12 #include <cstring>
13 #include <iostream>
14 #include <algorithm>
15 #define LL long long
16 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
17 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
18 #define sqr(x) ((x)*(x))
19 #define Abs(x) ((x) < 0 ? (-(x)) ? (x))
20 #define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
21 using namespace std;
22 const int N = 100;
23 LL Read() {
24     LL sum = 0;
25     char ch = getchar();
26     while (ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘) ch = getchar();
27     while (ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘) sum = (sum<<3)+(sum<<1)+ch-48, ch = getchar();
28     return sum;
29 }
30 
31 LL n, m, u, v, c;
32 LL f[N+5][N+5];
33 LL cnt[N+5][N+5];
34 double ans[N+5];
35 
36 void work() {
37     n = Read(), m = Read();
38     memset(f, 127/3, sizeof(f));
39     while (m--) {
40     u = Read(), v = Read(), c = Read();
41     if (f[u][v] > c) {
42         f[u][v] = f[v][u] = c;
43         cnt[u][v] = cnt[v][u] = 1;
44     }
45     else if (f[u][v] == c)
46         cnt[u][v] = ++cnt[v][u];
47     }
48     for (LL k = 1; k <= n; k++)
49     for (LL i = 1; i <= n; i++)
50         for (LL j = 1; j <= n; j++)
51         if (k != j && k != i && i != j) {
52             if (f[i][k]+f[k][j] < f[i][j]) {
53             f[i][j] = f[i][k]+f[k][j];
54             cnt[i][j] = cnt[i][k]*cnt[k][j];
55             }
56             else if (f[i][k]+f[k][j] == f[i][j])
57             cnt[i][j] += cnt[i][k]*cnt[k][j];
58         }
59     for (LL k = 1; k <= n; k++)
60     for (LL i = 1; i <= n; i++)
61         for (LL j = 1; j <= n; j++)
62         if (k != j && k != i && i != j)
63             if (f[i][k]+f[k][j] == f[i][j])
64             ans[k] += (double)(cnt[i][k]*cnt[k][j])/(double)(cnt[i][j]);
65     for (LL i = 1; i <= n; i++)
66     printf("%.3lf\n", ans[i]);
67 }
68 int main() {
69     freopen("bestlink.in", "r", stdin);
70     freopen("bestlink.out", "w", stdout);
71     work();
72     return 0;
73 }

[NOI 2007]社交網絡