(1) n條直線最多分平面問題

題目:n條直線，最多可以把平面分為多少個區域。

解析:
當有n-1條直線時，平面最多被分成了f（n-1）個區域。
則第n條直線要是切成的區域數最多，就必須與每條直線相交且不能有同一交點。
這樣就會得到n-1個交點。這些交點將第n條直線分為2條射線和n-2條線斷。
而每條射線和線斷將以有的區域一分為二。這樣就多出了2+（n-2）個區域。

故：f(n)=f(n-1)+n

f(n-1)=f(n-2)+n-1

……

f(2)=f(1)+2

因為，f(1)=2

所以，f(n)=n*(n+1)/2 + 1

代碼：

import java.util.Scanner;

class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int t = sc.nextInt();
        System.out.println(fun(t));
    }
    static int fun(int x){
        if (x == 1)
            return 2;
        else
            return fun(x-1)+x;
    }
}

(2) 折線分平面（hdu2050）
題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2050
解析：

根據直線分平面可知，由交點決定了射線和線段的條數，進而決定了新增的區域數。
當n-1條折線時，區域數為f（n-1）。為了使增加的區域最多，
則折線的兩邊的線段要和n-1條折線的邊，即2*（n-1）條線段相交。// 2為折線邊數，n-1為幾個與幾個折線相加
那麽新增的線段數為4*（n-1），射線數為2。
但要註意的是，折線本身相鄰的兩線段只能增加一個區域。

故：f(n)=f(n-1)+4*(n-1)+1

f(n-1)=f(n-2) + 4*(n-2)+1

......
f(2)=f(1) + 4*1 + 1

因為，f(1)=2

所以，f(n)=2n^2-n+1

代碼：

class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        while (n-->0) {
            int t = sc.nextInt();
            System.out.println(fun(t));
        }
    }

    static int fun(int x) {
        if (x == 1)
            return 2;
        else
            return fun(x - 1) + 4 * (x - 1) + 1;
    }
}

(3) 封閉圖形分平面問題

<a>三角形劃分區域（hdu1249）

題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1249
解析：當n-1個三角形時，區域面積數為 f(n-1) 。
要區域數最多，那麽第n個三角形就必須與前n-1個三角形相交。
則第n個三角形的一條邊就被分割成 2*（n-1）-1條線段與兩個半條的線段 ，
即相當於2*（n-1）條線段。則第 n 個三角形被分割成 3*2*（n-1）條線段。
則增加了 6*（n-1）個面。

故：f(n)=6*(n-1)+f(n-1)

f(n-1)=6*(n-2)+f(n-2)

........

f(2)=6*1+f(1)

因為，f(1)=2

所以，f(n)=3*n*(n-1)+2

AC代碼：

import java.util.Scanner;

class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        while (n-->0) {
            int t = sc.nextInt();
            System.out.println(fun(t));
        }
    }

    static int fun(int x) {
        if (x == 1)
            return 2;
        else
            return fun(x - 1) + 6 * (x - 1);
    }
}

<b>圓形劃分區域

題目：設有n條封閉曲線畫在平面上，而任何兩條封閉曲線恰好相交於兩點，
且任何三條封閉曲線不相交於同一點，問這些封閉曲線把平面分割成的區域個數。

解析：當n-1個圓時，區域數為f(n-1).那麽第n個圓就必須與前n-1個圓相交，
則第n個圓被分為2（n-1）段線段，增加了2（n-1）個區域。

故： f(n)=f(n-1)+2*(n-1)

f(n-1)=f(n-2)+2*(n-2)

......

f(2)=f(1)+2*1

因為，f(1)=2

所以，f(n)=n^2-n+2

代碼：

import java.util.Scanner;

class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        while (n-->0) {
            int t = sc.nextInt();
            System.out.println(fun(t));
        }
    }

    static int fun(int x) {
        if (x == 1)
            return 2;
        else
            return fun(x - 1) + 2 * (x - 1);
    }
}

(4)平面分割空間問題（hdu1290）

題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1290

解析：由二維的分割問題可知，平面分割與線之間的交點有關，即交點決定射線和線段的條數，
從而決定新增的區域數。
試想在三維中則是否與平面的交線有關呢？
當有n-1個平面時，分割的空間數為f（n-1）。
要有最多的空間數，則第n個平面需與前n-1個平面相交，且不能有共同的交線。
即最多有n-1 條交線。而這n-1條交線把第n個平面最多分割成g（n-1）個區域。
（g（n）為（1）中的直線分平面的個數）此平面將原有的空間一分為二，
則最多增加g（n-1）個空間。

故：f(n)=f(n-1)+g(n-1) ( ps: g(n)=n(n+1)/2+1 )

f(n-1)=f(n-2)+g(n-2)

……

f(2)=f(1)+g(1)

因為，f(1)=g(1)=2

所以，f(n)=2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+（n-1）

=[ (1^2+2^2+3^2+4^2+……+n^2) - (1+2+3+……+n ) ]/2 + n+ 1

=(n^3+5n)/6+1

平面分割問題