Konig定理及證明
阿新 • • 發佈：2018-03-06
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Konig定理
由匈牙利數學家柯尼希（D.Konig）於1913年首先陳述的定理。 定理的內容：在0-1矩陣中，1的最大獨立集合最小覆蓋包含的元素個數相同，等價地，二分圖中的最大匹配數等於這個圖中的最小點覆蓋數。證明:
對於上面的二分圖，它的最大匹配(不唯一)已經用紅線標出來了，
然後我們對於右邊或左邊(這裏按右邊為例)沒有匹配的點，我們從它出發走交替路(這裏有介紹)，會經過若幹節點
將所有從右邊沒有匹配的點開始的交替路上的所有的點標註起來(如下圖標藍的點)
可以證明左邊所有被標註的點都是被匹配的點(否則從未匹配的點到未匹配的點的交替路就是增廣路)
右邊所有沒有被標註的點都是被匹配的點(或是沒連任何邊的點，可以忽略。否則可以從它開始走任意非匹配邊，它就會被標註)
因為對於所有右邊被標註的點連的邊,其左邊的點都被標註了，會被覆蓋
假設左邊的點是不是匹配點且沒被標註，則當前邊一定不是匹配邊，可以加入交替路中，所以假設不成立
假設左邊的點是匹配點且沒被標註，則當前邊一定是匹配邊且不在交替路中，那麽右邊的這個點也是匹配點且被標記，那麽右邊的這個點已經連了一個在交替路中的匹配邊，但一個點最多會有一個匹配邊，所以假設不成立
對於所有左邊沒被標註的點連的邊，其右邊的點都沒被標註
假設右邊的點是匹配點且被標註，則當前邊一定不是匹配邊，可以加入交替路中，所以假設不成立
假設右邊的點不是匹配點且被標註，則當前邊一定不是匹配邊，可以加入交替路中，所以假設不成立
所以所有邊都被覆蓋了
Konig定理及證明