給威爾遜爵士跪了！！！

1、內容

首先，介紹一下什麼是威爾遜定理：

　　1、p為素數。

　　2、(p-1)! ≡ -1 (mod p)。

有1和2互為充要條件。

2、證明

就證明1為2的充分條件吧。

定義集合A={2,3,4,......,p-2}，如果對於A中每一個元素a，均存在A中另一個元素b，使得ab ≡ 1 (mod p)，且a不同時，b一定不同，則命題一定成立。

先證對於A中每一個元素a，均存在A中另一個元素b，使得ab ≡ 1 (mod p)。首先，顯然1 ≤ b ≤ p-1。然後，假設b == 1，則ab = a ≠ 1，不成立；再假設b == p-1，則ab = a*(p-1) = ap-a ≡ p-a (mod p)，若p-a == 1的話，須滿足a == p-1，不成立。得證。

再證不同的a對應的b不相同。假設存在兩個不同的a對應的b相同，再假設這兩個a分別為a1，a2(a1 < a2)。則有(a2-a1)*b ≡ 0 (mod p)。而(a2-a1)、b均小於p且p為素數，故顯然不成立。