首先我們看例題：P2197 nim遊戲

題目描述

甲，乙兩個人玩Nim取石子遊戲。

nim遊戲的規則是這樣的：地上有n堆石子（每堆石子數量小於10000），每人每次可從任意一堆石子裏取出任意多枚石子扔掉，可以取完，不能不取。每次只能從一堆裏取。最後沒石子可取的人就輸了。假如甲是先手，且告訴你這n堆石子的數量，他想知道是否存在先手必勝的策略。

輸入輸出格式

第一行一個整數T<=10,表示有T組數據

接下來每兩行是一組數據，第一行一個整數n，表示有n堆石子，n<=10000;

第二行有n個數，表示每一堆石子的數量

共T行，如果對於這組數據存在先手必勝策略則輸出"Yes",否則輸出"No"，不包含引號，每個單詞一行。

輸入輸出樣例

2
2
1 1
2
1 0

No
Yes

講解：

本題就是最最經典的nim遊戲了。nim遊戲過程中面臨的狀態叫做局面，第一個行動的為先手，第二個行動的為後手。考慮兩人無比聰明，則必敗局面僅當該局面所能到達的局面均為必敗局面時出現，而必勝局面僅當後續局面存在至少1個必勝局面時出現，顯然nim遊戲中1為必勝局面（因為拿走1就贏了）。顯然，nim遊戲是不存在平局的，只有先手必贏或先手必輸兩種情況。

定理：設各堆為a₁、a₂…a_n，則nim遊戲先手必贏僅當a₁ Xor a₂

證明：

　　首先，當石子均被取完時，則a數組都為0，存在a₁ Xor a₂ Xor…Xor a_n=0，因為每次取都會使石子數減少，當前局面若a₁ Xor a₂ Xor…Xor a_n≠0，我們只要保證能在取走一些石子後使得a₁ Xor a₂ Xor…Xor a_n=0，則必然保證自己能取走最後一個石子獲得勝利。

　　等價於證明：

　　（1）當a₁ Xor a₂ Xor…Xor a_n≠0時，存在某種取法使得剩下的石子xor和為0。

　　（2）當a₁ Xor a₂ Xor…Xor a_n

　　首先證明（1），對於任何一個局面a₁ Xor a₂ Xor…Xor a_n=x≠0，設x的二進制最高位的1在第k位，則至少存在一堆石子a_i的二進制第k位是1（因為我們是Xor運算，某一位上的1不會憑空出現）且a_i≥x。由Xor運算法則知：x Xor a_i<a_i，（因為至少會使第k為上的1變為0）。於是我們從a_i這堆裏取走一些石子，使得a_i堆剩下的石子數變為a_i Xor x，此時再對剩下的各堆進行上述運算：a₁ Xor a₂ Xor…ai Xor x…Xor a_n=x Xor x=0，此時Xor和為0。 於是得證（1）。

　　再來證明（2），對於任何一個局面a₁ Xor a₂ Xor…Xor ai Xor…a_n=0，我們反證：假設取走a_i堆中的一些石子使a_i變為了x，使得a₁ Xor a₂ Xor…Xor x Xor…a_n≠0，則顯然是不可能的，因為開始Xor和就為0再由Xor運算的性質當ai變為x後若Xor和為0，當且僅當ai=x時成立。而nim遊戲中不能不取，所以若當前局面Xor和為0,則必然會使下一局面Xor和不為0。於是（2）得證。

結論：nim遊戲只要滿足先手的Xor和不為0，則先手必贏，否則先手必輸。

代碼：

 1 // luogu-judger-enable-o2
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 #define il inline
 4 #define ll long long
 5 using namespace std;
 6 il ll gi()
 7 {
 8     ll a=0;char x=getchar();bool f=0;
 9     while((x<‘0‘||x>‘9‘)&&x!=‘-‘)x=getchar();
10     if(x==‘-‘)x=getchar(),f=1;
11     while(x>=‘0‘&&x<=‘9‘)a=a*10+x-48,x=getchar();
12     return f?-a:a;
13 }
14 ll t,n,a[100005];
15 int main()
16 {
17     t=gi();
18     while(t--){
19         n=gi();ll x=0;
20         for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=gi(),x^=a[i];
21         if(x)puts("Yes");
22         else puts("No");
23     }
24     return 0;
25 }

淺析Nim遊戲和ICG博弈