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題意

某個公司有 $ n $ 個人，上下級關系構成了一個有根樹。其中有個人是叛徒（這個人不知道是誰）。對於一個人, 如果他下屬（直接或者間接, 不包括他自己）中叛徒占的比例超過 $ x $ ，那麽這個人也會變成叛徒，並且他的所有下屬都會變成叛徒。你要求出一個最小的 $ x $ ，使得最壞情況下，叛徒的個數不會超過 $ k $ 。$ (1 \leq k \leq n \leq 500000) $

題解

首先有一個顯然的二分做法，然而不知道為什麽會被卡……

於是考慮能不能 $ O(n) $ 做。

?

首先有兩個結論：

• 最壞情況下，最初的那一個叛徒一定是葉子結點。
• 如果一個非葉子節點叛變，則它其中的一個兒子一定叛變

所以最終所有的叛徒一定是原樹中的一棵子樹。

?

$ f[i] $ 表示要使節點 $ i $（及其下屬）恰好不能叛變的最小比例 $ x $

因為所有 $ size[i] > k $ 的子樹都不能叛變

所以 $ ans = max , f[i] \quad (size[i] > k) $

?

然後考慮怎樣求 $ f[i] $

$ f[i] $ 也等價於恰好讓 $ i $ 叛變的最大比例 $ x $

對於每一個 $ i $ ，首先枚舉它的哪個子樹叛變了（假設是 $ j $ ）

那麽想讓 $ i $ 叛變有兩個條件：

• 比例 $ x $ 滿足能夠讓 $ j $ 叛變
• 比例 $ x $ 滿足 $ \dfrac{size[j]}{size[i] - 1} > x $

所以 $ f[i] = max(f[i], min(f[j], \dfrac{size[j]}{size[i]-1})) $

邊界條件為：$ f[i] = \begin{cases} 1 \quad \text{葉子結點} \\ 0 \quad \text{非葉子節點} \end{cases} $

AC Code

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <vector>
#define MAX_N 500005

using namespace std;

int
 
 n,k;
int siz[MAX_N];
double ans=0;
double f[MAX_N];
vector<int> edge[MAX_N];

void read()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    int x;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&x);
        edge[x].push_back(i);
    }
}

void dfs(int x)
{
    siz[x]=1,f[x]=(edge[x].size()==0);
    for(int i=0;i<edge[x].size();i++)
    {
        int t=edge[x][i];
        dfs(t),siz[x]+=siz[t];
    }
    for(int i=0;i<edge[x].size();i++)
    {
        int t=edge[x][i];
        f[x]=max(f[x],min(f[t],siz[t]/(siz[x]-1.0)));
    }
    if(siz[x]>k) ans=max(ans,f[x]);
}

void work()
{
    dfs(1);
    printf("%.9f\n",ans);
}

int main()
{
    read();
    work();
}

BZOJ 4726 [POI2017]Sabota?：樹形dp