一、定義

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!

ai為整數，並且0<=ai<i(1<=i<=n)

簡單點說就是，判斷這個數在其各個數字全排列中從小到大排第幾位。

比如 132，在1、2、3的全排列中排第2位。

二、作用

維基：n位（0~n-1）全排列後，其康托展開唯一且最大約為n!，因此可以由更小的空間來儲存這些排列。由公式可將X逆推出對應的全排列。

它可以應用於哈希表中空間壓縮，

而且在搜索某些類型題時，將VIS數組量壓縮。

三、康托展開求法

比如2143 這個數，求其展開：

從頭判斷，至尾結束,

① 比 2（第一位數）小的數有多少個->1個就是1，1*3!

② 比 1（第二位數）小的數有多少個->0個0*2!

③ 比 4（第三位數）小的數有多少個->3個就是1,2,3，但是1,2之前已經出現，所以是 1*1!

將所有乘積相加=7

比該數小的數有7個，所以該數排第8的位置。

1234 1243 1324 1342 1423 1432
2134 2143 2314 2341 2413 2431
3124 3142 3214 3241 3412 3421
4123 4132 4213 4231 4312 4321

四、代碼

int  fac[] = {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320}; //
 
i的階乘為fac[i]  
// 康托展開-> 表示數字a是 a的全排列中從小到大排，排第幾  
// n表示1~n個數  a數組表示數字。  
int kangtuo(int n,char a[])  
{  
    int i,j,t,sum;  
    sum=0;  
    for( i=0; i<n ;++i)  
    {  
        t=0;  
        for(j=i+1;j<n;++j)  
            if( a[i]>a[j] )  
                ++t;  
        sum+=t*fac[n-i-1
 
];  
    }  
    return sum+1;  
}  

五、康托展開的逆：

康托展開是一個全排列到自然數的雙射，可以作為哈希函數。

所以當然也可以求逆運算了。

逆運算的方法：

假設求4位數中第19個位置的數字。

① 19減去1 → 18

② 18 對3！作除法 → 得3余0

③ 0對2！作除法 → 得0余0

④ 0對1！作除法 → 得0余0

據上面的可知：

我們第一位數（最左面的數），比第一位數小的數有3個，顯然 第一位數為→ 4

比第二位數小的數字有0個，所以 第二位數為→1

比第三位數小的數字有0個，因為1已經用過，所以第三位數為→2

第四位數剩下 3

該數字為 4123 (正解)

用代碼實現上述步驟為：

int  fac[] = {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320};  
//康托展開的逆運算,{1...n}的全排列，中的第k個數為s[]  
void reverse_kangtuo(int n,int k,char s[])  
{  
    int i, j, t, vst[8]={0};  
    --k;  
    for (i=0; i<n; i++)  
    {  
        t = k/fac[n-i-1];  
        for (j=1; j<=n; j++)  
            if (!vst[j])  
            {  
                if (t == 0) break;  
                --t;  
            }  
        s[i] = ‘0‘+j;  
        vst[j] = 1;  
        k %= fac[n-i-1];  
    }  
} 

康托展開及其逆運算