一、康托展開：全排列到一個自然數的雙射

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!

ai為整數，並且0<=ai<i(1<=i<=n)；其中X最常見的可以設為：0 <=X<=n!-1，第一個排列即123...n;該排列的X可設為0；

適用範圍：沒有重復元素的全排列

二、全排列的編碼：

{1,2,3,4,...,n}的排列總共有n!種，將它們從小到大排序，怎樣知道其中一種排列是有序序列中的第幾個？

如 {1,2,3} 按從小到大排列一共6個：123 132 213 231 312 321。想知道321是{1,2,3}中第幾個大的數。

這樣考慮，想知道321是第幾個，只要知道321前面比它小的數有幾個就可以了。

第一位是3，小於3的數有1、2 。所以有2*2!個。再看小於第二位，小於2的數只有一個就是1 ，所以有1*1!=1 所以小於32

的{1,2,3}排列數有2*2!+1*1!=5個。所以321是第6個大的數。2*2!+1*1!是康托展開。（註意判斷排列是第幾個時要在康托展開的結果後+1）

再舉個例子：1324是{1,2,3,4}排列數中第幾個大的數：第一位是1小於1的數沒有，是0個，0*3!，第二位是3小於3的數有1和2，但1已經在第一位了，所以只有一個數2，1*2! 。第三位是2小於2的數是1，但1在第一位，所以有0個數，0*1!，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2個，1324是第三個大數。

又例如，排列3 5 7 4 1 2 9 6 8展開為98884，因為X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.

解釋：

排列的第一位是3，比3小的數有兩個，以這樣的數開始的排列有8!個，因此第一項為2*8!

排列的第二位是5，比5小的數有1、2、3、4，由於3已經出現，因此共有3個比5小的數，這樣的排列有7!個，因此第二項為3*7!

以此類推，直至0*0!

#include<cstdio> 
const int fac[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320};///階乘 
   
int
 
 KT(int s[], int n) 
{ 
    int i, j, cnt, sum; 
    sum = 0; 
    for (i = 0; i < n; ++i) 
    { 
        cnt = 0; 
        for (j = i + 1; j < n; ++j) 
            if (s[j] < s[i]) ++cnt; 
        sum += cnt * fac[n - i - 1]; 
    } 
    return sum; 
} 
   
int main() 
{ 
    int a[] = {3, 5, 7, 4, 1, 2, 9, 6, 8}; 
    printf("%d\n", 1 + KT(a, sizeof(a) / sizeof(*a))); ///1+98884  
} 

三、全排列的解碼

如何找出第16個（按字典序的）{1,2,3,4,5}的全排列？

1. 首先用16-1得到15

2. 用15去除4! 得到0余15

3. 用15去除3! 得到2余3

4. 用3去除2! 得到1余1

5. 用1去除1! 得到1余0

有0個數比它小的數是1，所以第一位是1

有2個數比它小的數是3，但1已經在之前出現過了所以是4

有1個數比它小的數是2，但1已經在之前出現過了所以是3

有1個數比它小的數是2，但1,3,4都出現過了所以是5

最後一個數只能是2

所以排列為1 4 3 5 2

#include<cstdio> 
#include<cstring> 
const int fac[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320};///階乘  
   
bool vis[10]; 
   
///n為ans大小，k為全排列的編碼 
void invKT(int ans[], int n, int k) 
{ 
    int i, j, t; 
    memset(vis, 0, sizeof(vis)); 
    --k; 
    for (i = 0; i < n; ++i) 
    { 
        t = k / fac[n - i - 1]; 
        for (j = 1; j <= n; j++) 
            if (!vis[j]) 
            { 
                if (t == 0) break; 
                --t; 
            } 
        ans[i] = j, vis[j] = true; 
        k %= fac[n - i - 1];///余數 
    } 
} 
   
int main() 
{ 
    int a[10]; 
    invKT(a, 5, 16); 
    for (int i = 0; i < 5; ++i) 
        printf("%d ", a[i]);///1 4 3 5 2 
} 

全排列和康托展開