題意：給你一張n個點的DAG，最大化選擇的點數，是點之間兩兩不可達。

要從Dilworth定理說起。

Dilworth定理是定義在偏序集上的，也可以從圖論的角度解釋。偏序集中兩個元素能比較大小，則在圖中連一條有向邊。

定義反鏈為一個點集，滿足集合中的點兩兩不可達。

Dilworth定理：最小路徑覆蓋=最長反鏈。

證明：http://vfleaking.blog.163.com/blog/static/1748076342012918105514527/

例子：NOIP1999第二問：給定一個數列a，將其分成若幹個子序列，使每個子序列都是下降子序列，並最小化分的子序列個數。

對於所有i<j且a[i]>a[j]，從i向j連邊，則問題轉化成求圖的最小路徑覆蓋，根據Dilworth定理進一步轉化為求最長反鏈，而這裏的最長反鏈即是最長不降子序列的長度。所以這題只要求一個最長不降子序列即可。

回到這道題，就是要求一個最長反鏈。這裏任意兩個可達的點之間都需要連一條邊，所以需要求傳遞閉包。

然後通過Dilworth定理轉化為求DAG的最小路徑覆蓋，這就是二分圖匹配的經典問題了。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int N=110;
 8 int
 
 n,m,u,v,ans,lk[N];
 9 bool mp[N][N],a[N][N],vis[N];
10 
11 bool find(int x){
12     rep(i,1,n) if (!vis[i] && mp[x][i]){
13         vis[i]=1;
14         if (!lk[i] || find(lk[i])) { lk[i]=x; return 1; }
15     }
16     return 0;
17 }
18 
19 int main(){
20     freopen("bzoj1143.in","
 
r",stdin);
21     freopen("bzoj1143.out","w",stdout);
22     scanf("%d%d",&n,&m);
23     rep(i,1,m) scanf("%d%d",&u,&v),mp[u][v]=1;
24     rep(k,1,n) rep(i,1,n) rep(j,1,n) mp[i][j]|=mp[i][k]&mp[k][j];
25     rep(i,1,n) rep(j,1,n) if (i!=j && mp[i][j]) a[i][j]=1;
26     rep(i,1,n){
27         memset(vis,0,sizeof(vis));
28         if (find(i)) ans++;
29     }
30     printf("%d\n",n-ans);
31     return 0;
32 }

[BZOJ1143][CTSC2008]祭祀river(Dilworth定理+二分圖匹配)