題目描述

Longge的數學成績非常好，並且他非常樂於挑戰高難度的數學問題。現在問題來了：給定一個整數N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

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一個整數，為N。

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一個整數，為所求的答案。

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說明

對於60%的數據，0<N<=2^16

對於100%的數據，0<N<=2^32

Solution：

　　本題數學。

　　設$f(x)$表示範圍內$gcd(i,j)=x$的數的個數，則$f(x)=\sum_\limits{i=1}^{i\leq n}{(gcd(i,n)=x)}\;=\;\sum_\limits{i=1}^{i\leq \frac{n}{x}}{x*(gcd(i,\frac{n}{x})=1)}\;=\;x*\varphi (\frac{n}{x})$。

　　所以原式$=\sum_\limits{i|n}^{i\leq n}{i*\varphi (\frac{n}{i})}$。

　　於是直接暴力根號枚舉n的因子，然後暴力根號篩$\varphi$ 求解就好了，時間復雜度$O(n^{\frac{3}{4}})$（註意開long long，被坑慘了）。

代碼：

/*Code by 520 -- 9.20*/
#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define RE register
#define For(i,a,b) for(RE int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define
 
 Bor(i,a,b) for(RE int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
using namespace std;
ll n;
ll ans;

ll phi(ll x){
    ll ans=x;
    for(ll i=2;i*i<=x;i++)
        if(x%i==0) {
            while(x%i==0) x/=i;
            ans=ans/i*(i-1);
        }
    if(x>1) ans=ans/x*(x-1);
    return ans;
}

int
 
 main(){
    cin>>n;
    ll i=1;
    for(i=1;i*i<n;i++)
        if(n%i==0) ans+=i*phi(n/i)+(n/i)*phi(i);
    if(i*i==n) ans+=i*phi(i);
    cout<<ans;
    return 0;
}

P2303 [SDOi2012]Longge的問題