[SDOI2012]Longge的問題

BZOJ
luogu
考慮n的每個約數的貢獻
求[1,n]有多少i與gcd(i,n)=k
即求\[\sum_{k|n}k\sum_{i=1}^n[gcd(i,n)=k]\]
\[=\sum_{k|n}k\sum_{i=1}^{\frac{n}{k}}[gcd(i,\frac{n}{k})=1]\]
\[=\sum_{k|n}k\phi(k)\]
由於k|n,所以預處理n的不同質因子,可以做到\(O(logn)\)求\(\phi(k)\)
復雜度:\(O(\sqrt nlogn)\)

#define ll long long
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int cnt;
ll n,ans,z[100000];
void fact(ll x){
    for(int i=2,sq=sqrt(x);i<=sq;i++){
        if(x%i==0){
            z[++cnt]=i;
            while(x%i==0)x/=i;
        }
    }
    if(x>1)z[++cnt]=x;
}
ll getphi(ll x){
    ll res=x;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        if(x%z[i]==0){
            res/=z[i];res*=z[i]-1;
            while(x%z[i]==0)x/=z[i];
        }
    if(x>1)res/=x,res*=x-1;
    return res;
}
int main(){
    cin>>n;
    fact(n);
    for(int i=sqrt(n);i>=1;i--)
        if(n%i==0){
            ans+=getphi(n/i)*i;
            if(i*i^n)ans+=getphi(i)*n/i;
        }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}
 

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